[连载] 小学生数学问题系列

ys1937

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  余老矣，往年所学，尽还老师。唯小学时数学老师所提一些问题，至今犹在心中。鸡兔同笼、大和尚小和尚吃馒头…………
  闲来无事，且写出，愿有心者转给孩子们。
  是童趣耳！

  问题 1、某商店回收‘雪碧’空瓶，每四只空瓶可换一瓶雪碧。
  某班 N 个学生出外旅游，老师买了24瓶雪碧，结果，连带空瓶换实瓶，连老师在内，每人正好喝到一瓶。
  问该班有多少学生？

  多想想再回答。

晓夢

1# ys1937 31 个学生。

ys1937

  31 个学生。
晓夢 发表于 2016-7-4 09:37

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  晓梦的答案对了一半，是‘标谁答案’，但不是‘唯一答案’。
  其实，这是一个‘脑筋急转弯’的问题。
  ‘坏’学生（请晓梦愿谅，俺不是骂你）的答案是31个——连老师32个。
  思路是，24个空瓶，可以换 6个实瓶，喝完这 6 瓶，再去换实瓶，就有了二种思路了：
  （1） ‘坏学生’的办法是：问路人乙先借二个空瓶，拿八个空瓶去换二个实瓶，喝完再还空瓶给路人乙；这样：
  24 + 6  + 2 = 32，
  32 — 1 = 31；
  （2） ‘好学生’就不会这样想法了，6 个空瓶只能换一个实瓶，还多出来二个空瓶。
  你说去借二个空瓶，可是，旁边没人喝雪碧咋办？就是有空瓶，这种丢脸的事俺不干。
  于是，另一个答案是30个学生（二个空瓶就送给店家吧）。

  嘿嘿，这就是为什么企业家里‘坏学生’多，‘好学生’少的理由吧。
  晓梦以为如何？

  以后，每天一题。
  欢迎各位出题，条件是，要让小学生能做。

晓夢

好像不用借两个空瓶。喝完六瓶后用四空瓶再换一瓶，再喝完就有三个空瓶了，需要借一个。去哪借？就去换实瓶的商店，正好刚在那儿换过好几瓶，已经混熟了，或者摘下帽子做抵押。要是连个空瓶都借不到，这种情商的好学生也没什么出息了。

ys1937

好像不用借两个空瓶。喝完六瓶后用四空瓶再换一瓶，再喝完就有三个空瓶了，需要借一个。去哪借？就去换实瓶的商店，正好刚在那儿换过好几瓶，已经混熟了，或者摘下帽子做抵押。要是连个空瓶都借不到，这种情商的好学 ...
晓夢 发表于 2016-7-4 11:46

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  好，又是一种解法。

  如果俺是店员，一定不让晓梦占这点便宜。

水笺

三个瓶子先换一可乐，欠一可乐瓶，喝完把这瓶子还给他。正好4个，不欠~~~

ys1937

三个瓶子先换一可乐，欠一可乐瓶，喝完把这瓶子还给他。正好4个，不欠~~~
水笺 发表于 2016-7-4 20:35

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  晓梦、水笺善于利用‘规则’中的漏洞，把“四个空瓶可换一个实瓶”的规则变成了“三个空瓶可换一个实瓶”，佩服佩服。
  王石老兄莫非曾经向二位求教了？
  （7/11）〈 （2/3）〈 （7/10）
  上面这组不等式是二位教给王石滴？

ys1937

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  下面讨论“鸡兔同笼”问题。
  1、 先出题：俺知道，五只兔子20条腿，七只鸡14条腿，于是，题目就来了：
  题（2-1）：鸡和兔子关在一个笼子里，只知道笼子里面有12个‘头’，34条‘腿’，问：笼子里有几只鸡，几只兔子？  
  2、 这个问题，只要有初中数学知识，用解联立方程组的办法，很容易：
  假设有‘鸡’只鸡，‘兔’只兔，由题意：
  ‘鸡’+ ‘兔’ = 12  ……（1）
   2‘鸡’ + 4‘兔’ = 34  ……（2）
  解之得…………
  3、 这样，俺只能自定一条规则（各位切莫再来个潜规则了，拜托了）：只能用小学生所能懂的四则运算和逻辑分析来解题。
  4、 要求，像晓梦在二楼那样就一个答案的，不算数，你得写出你的分析、运算过程。

  题2-2、庙里食堂师傅做了一百零六只大肉馒头（莫钻漏洞），庙里有一百个光头，方丈吩咐：大和尚一人三只，小和尚三人一只（不许打架），食堂师傅分发下去，剩下六只，孝敬方丈去也。
  提示：方太他老人家不参加分配，也不算大和尚。
  问：这食荤茹素的庙里有几个大和尚，又有几个小和尚。
  同样要求：你得写出求解过程来，也只能用小学的知识求解。

showcraft

让鸡和兔子都变成双头怪，那么腿还是34条，头就变成24个，多出的10条腿，是长在兔子身上，每个兔子多长两条，那么兔子就是5只，鸡就是7只。

ys1937

让鸡和兔子都变成双头怪，那么腿还是34条，头就变成24个，多出的10条腿，是长在兔子身上，每个兔子多长两条，那么兔子就是5只，鸡就是7只。
showcraft 发表于 2016-7-5 07:45

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  秀艺好算计。

  这是‘加头’法，俺向你学习，来个‘减腿’法。
  假设某馋嘴想吃鸡肉兔子肉，又不敢杀鸡杀兔，又是，“半夜鸡叫”的时候，钻到笼子里，每只鸡砍一条腿，每只兔子砍二条腿，拿去烤来吃了。
  于是，笼子里的腿剩下17条了。
  12只鸡加兔子，17条腿，多出的五条腿是双腿兔滴。
  这样，兔子是五只，鸡当然是七只了。
  秀艺搞出了双头怪物，俺这是残疾动物，都不受动物爱好者欢迎滴。

  还有更好的分析吗？

晓夢

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  下面讨论“鸡兔同笼”问题。
  1、 先出题：俺知道，五只兔子20条腿，七只鸡14条腿，于是，题目就来了：
  题（2-1）：鸡和兔子关在一个笼子里，只知道笼子里面有12个‘头’，34条‘腿’，问：笼子里有几只 ...
ys1937 发表于 2016-7-5 06:44

第2.2题少了一个条件吧? 是不是应该给出大小和尚总数?

否则有很多解。比如3个小和尚(一个馒头)和33个大和尚(99个馒头), 或291个小和尚(97个馒头)和一个大和尚(3个馒头)， 都满足题意。

ys1937

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  看看，这二种方法的实质是啥子：

  X + Y = 12       ……（1）
  4X + 2Y = 34   ……（2）
  
  秀艺：（1）式乘 2，得：

  2X + 2Y = 24

  俺的：（2）式除 2，得
  2X + Y = 17

  下面就省略了。

ys1937

第2.2题少了一个条件吧? 是不是应该给出大小和尚总数?

否则有很多解。比如3个小和尚(一个馒头)和33个大和尚(99个馒头), 或291个小和尚(97个馒头)和一个大和尚(3个馒头)， 都满足题意。
晓夢 发表于 2016-7-5 08:57

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  问得好。正常的题目里是有“一百个光头”滴，已更正了，谢了。
  晓梦得到的是两个“非正常”寺庙了。一个只有三个小和尚，谁做扫地僧？一个只有三个大和尚，成了幼儿园了，谁来念经？
  不过，都是解。
  似乎还少了一个正常寺庙的解。

  更重要的，过程呢？

showcraft

不错，本质上与方程式的变换是相通的。
今年秋高气爽时，我与亚平兄相约，再来宝乡拜会ys老。

晓夢

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  问得好。正常的题目里是有“一百个光头”滴，已更正了，谢了。
  晓梦得到的是两个“非正常”寺庙了。一个只有三个小和尚，谁做扫地僧？一个只有三个大和尚，成了幼儿园了，谁来念经？
  不过，都是解 ...
ys1937 发表于 2016-7-5 09:11

三个小和尚或一个大和尚还要什么过程。你看人家主妇买菜，仨瓜俩棗一共多少钱，脱口而出，无需过程。

如果总共100个和尚，这个可以有过程(硬凑也行)。和尚和馒头一样多，先找出一样多的最小情况。一个大和尚和三个小和尚为一组，4个和尚正好吃4个馒头。于是所有4的倍数的情况就都解决了。

如果40和尚分40馒头，就是10组，共有10个大和尚30个小和尚。
100和尚分100馒头，就是25组。25个大和尚，75个小和尚。

ys1937

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  晓梦的方法很通俗，容易说清楚，不过，你的说法里似乎没有解决“唯一性”的问题。
  其实，用秀艺的加喊法也可以解决这个问题。
  小和尚三个人只能吃一个馒头，不好分，不断出现打架事件，方丈大师头痛之极，为了寺庙的安定团结，方丈决定大赦天下，让小和尚也能每人吃一个馒头。可是这样一来，大和尚又不答应了，他们的特供相对少了。方丈又只能采取安抚之策，来收买大和尚人心。于是，方丈最后决定，让伙房做318只大肉馒头，小和尚每人一只，大和尚每人九只，方丈也得到了十八只。
  伙房师傅是笨人，他决定，先给一百个光头每人分一只，让小和尚先离开，然后，…………
  这样，这些老秃驴每人又分到了八只大肉馒头，共计是二百只。
  你说，有多少大和尚呢？
  这样，是不是伙房师傅比买菜的主妇笨啊？

ys1937

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  再来一个故事。
  小和尚不断打架，方丈为了安定人心，出了布告，天下众生，一律平等。大和尚也是三人一馒。
  于是，伙房里分掉了33又三分之一只馒头，除了方丈的六只外，还余下66又三分之二只馒头。
  到第二天，方丈宣布，让小和尚集体到迪斯尼玩它一天，不得缺席。
  小和尚皆大欢喜，却不知大和尚也暗里高兴，等小和尚一走，他们每人二又三分之二只馒头又到嘴了。
  {66（2/3）} / {2（2/3）} = 200/8 = ？

晓夢

16# ys1937
不明白“没有解决唯一性问题” 的意思。  如果一百个和尚按题意分一百个馒头，就是25大和尚和75小和尚，解是唯一的。

如果每个和尚的口粮变为三倍，就成了小和尚一人一个，大和尚一人九个，100和尚分300馒头。这根本不用再算，相当于馒头数量不变，把每个馒头从一两变为三两，或把一个馒头写成一碗面条或两根油条，根本不影响题意。还是25大和尚和75小和尚。

17楼和原题一样，小和尚三人一个，大和尚一人三个，100和尚分100馒头。只不过大和尚的三个馒头分两次吃，第一次吃1/3个，第二次吃剩下的2+2/3个。这个当然也不用再算，即使大和尚把那三个馒头分8次吃结果也是一样。25大和尚和75小和尚。

ys1937

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  是的，答案是唯一的。
  但是，晓梦你的分组方法（一大三小）为什么一定能把所有和尚都分在内呢？这里只是一种可能，为什么没有其它可能呢？

  这个系列有点意思了，请晓梦也拿点题目出来讨论，最终会很有点味道的。
  这个味道好极了。

晓夢

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  是的，答案是唯一的。
  但是，晓梦你的分组方法（一大三小）为什么一定能把所有和尚都分在内呢？这里只是一种可能，为什么没有其它可能呢？

  这个系列有点意思了，请晓梦也拿点题目出来讨论，最终会很 ...
ys1937 发表于 2016-7-5 12:09

明白了。有道理。严谨专业的思路。

不过考虑到这种题有唯一解，而该方法又能找到解，对小学生来说面面俱到似乎就不那么重要了？

我18楼后两段有点搞笑了。你是说用那两种方法（加减法）计算比较好。

ys1937

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  是的，对小学生可能要求太高了。
  X +Y = 100
  3X + （1/3）Y = 100

  1、 3X + 3Y = 300
  2、 X + （1/9）Y = 100/3

晓夢

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  是的，对小学生可能要求太高了。
  X +Y = 100
  3X + （1/3）Y = 100

  1、 3X + 3Y = 300
  2、 X + （1/9）Y = 100/3
ys1937 发表于 2016-7-5 13:22

呵呵。 X +Y = 100    3X + （1/3）Y = 100   -->  X +Y = 3X + （1/3）Y   -->  3X + 3Y = 9X + Y   -->  Y=3X

也就是说， 小和尚是大和尚的三倍。这是推导出来的，没有其它可能，也不牵涉到唯一性。而这种组合的最小可能就是一个大和尚和三个小和尚。解一定是其倍数。
根据题意，25倍时是解。此时满足和尚或馒头=100。

ys1937

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  上面，给‘鸡兔同笼’、‘和尚吃馒头’问题做了比较详细的讨论，解决这一问题的一个比较好的办法是增减法，到初中学了方程组，就知道，实际上就是加减消元法。
  下面来讨论第三个问题：
  问题 3、要把一百桶汽油运到五十公里远的地方，条件是：
  （1） 只能用二辆货车运输；
  （2） 该二辆货车每辆一次最多只能运出50桶汽油；
  （3） 该货车每公里要耗去汽油一桶，而货车本身没有带一点点自有的汽油；
  （4） 货车作为一次性物品，最后可以随便丢弃在任何地方；
  请问，该怎样进行运输，才能把一部份汽油运到目的地？能运到目的地的汽油的最大数量是多少？

晓夢

23# ys1937
用最笨的方法吧，一边想一边写。

100桶油，每辆车最多运50桶。那就正好把两辆车装满，每车50桶，一齐出发。一边走一边用所运的油来加油。

每公里耗油一桶。到25公里时，每辆车只剩25桶油了。这时将某一车的25桶油搬到另一辆车上，于是另一辆车上有50桶油。将空车丢掉。


装50桶油的车继续走，用所运的油来加油。每公里耗油一桶。25公里后到目的地。这时还剩25桶油。这25桶应该就是能运到目的地的最大数目。

ys1937

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  晓梦的答案是对的。
  上述分析里有一个问题没有解决：为什么这‘25桶’“应该就是能运到目的地的最大数目”？
  可惜，要解决这一问题，恐怕不是小学生能做到的。
  不过，能不能给一些直观的讨论，能让小学生理解这25桶是“最大”呢？
  晓梦努力。
  其实，问题二的和尚吃馒头里，晓梦一开始给出了答案，也没有解决“唯一性”问题，其实，也可以给一些虽然不“严格”但是“直观”的说明的。

ys1937

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  以和尚吃馒头为例，可以列出二张表来。
  1、 馒头为主
  小和尚  大和尚  合计
    3          33      36
     12          32      44
     21          31      52
     30          30      60  （每减少一个大和尚，总数就要增加八个，理由如下：…………）
  如此，和尚总数依次为：
  36、44、52、60、68、76、84、92、100、108…………
  显然，其中只有一个符合要求。

  2、 和尚为主：
  显然，大和尚不能超过33个。
  大和尚    小和尚    合计
    33           3        36
    32         12        44
    …………
  以下讨论同前。

水笺

晕倒了，题目好难，是数学题，还要脑筋急转弯

ys1937

晕倒了，题目好难，是数学题，还要脑筋急转弯
水笺 发表于 2016-7-6 10:02

**给你儿子、女儿，或者孙子、孙女、外孙、外孙女去做，让他们损失一点脑细胞。

晓夢

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  以和尚吃馒头为例，可以列出二张表来。
  1、 馒头为主
  小和尚  大和尚  合计
    3          33      36
     12          32      44
     21          31      52
     30          30      60   ...
ys1937 发表于 2016-7-6 09:45

是啊，有很多方法可以得到解。很难也没必要判断哪一种方法最好。还可以先根据“和尚总数等于馒头总数”来分析大小和尚的比例，1：3。这样如果100馒头和尚就只能是25：75。这个方法的好处是提供了一些其它信息，比如大小和尚的比例必须是1：3，馒头总数是4的倍数。可以是100和尚分100馒头，也可以是80和尚分80馒头，但不能90和尚分90馒头，90无解。

上面那个馒头为主很像用计算机求解过程。计算机解题和人解题方式是完完全全不同的。当年我也是解了几题后才意识到。人解题是分析思考直接算出答案，或排除不可能的情况留下正解。而计算机是穷举，不思考不排除不管合理不合理都算出来，直到碰上正解。

那个馒头为主的表用计算机来做就是开一个循环，大和尚数目从1 到100（大和尚不能超过33个不考虑，太麻烦），大馒头数是大和尚数乘以3，小馒头数是100减大馒头数，小和尚数是小馒头数乘以三。如果大小和尚数相加等于100则循环停止输出结果。写这么个程序2分钟，编译运算10秒钟。不到三分钟搞定。

ys1937

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  晓梦说的对，解决和尚吃馒头答案唯一性问题的‘列举法’“很像用计算机求解过程”，但是，我想补充一点，是“‘用计算机求解过程’很像‘列举法’”，而不是倒过来说。
  因为，‘列举法’的历史比‘用计算机求解过程’长得多。
  这一说法的差异，大概就是熟悉计算机的晓梦和我这个老古董的差异了。

  下面来解决问题 3的‘唯一性’问题。