showcraft

好吧，我躺着中枪了，呵呵。
再来一道，应该是正宗的概率：
有一半径为R的定圆，任意作一经过此圆的直线，割得弦长大于根号3R的概率是多少？

showcraft

sorry，这道题目可能真的比较棘手，还是算了。
参见Bertrand paradox (probability)
http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand_paradox_(probability)

贝特朗奇论(Bertrand's paradox)
http://tieba.baidu.com/p/1618440062

showcraft

换一道怀旧老题：
100个人坐飞机，每个人都有确定的座位。但由于第一个登机的人是傻子，他会等概率的随机选取一个座位坐下。后面的人依次进入，如果自己的座位没有被别人坐下，那么就在这个位置坐下；如果自己的座位已经被别人坐下，那么就在空座位中等概率的随机选取一个座位坐下。
问：最后一个人坐对自己的座位的概率是多少？

showcraft

呵呵，这道题曾经就在茶楼出现过的。ys老能否详细解释下啊？

showcraft

老程兄好啊，对我是谬赞了，我就是个搭台沏茶，吆喝跑腿的小二角色，抛砖引玉的干活。
我是很佩服ys老的，有些题目应该占用了他不少宝贵时间，当然也许是我低估了ys老，在我眼里10分钟的工作量他1分钟可能就解决了，呵呵。晓梦，大树兄给我不少教益，菜农兄以及你的捧场，都使这临时搭建的概率草台横生妙趣啊。

showcraft

哈哈，ys老此言甚妙，解了我不少顾虑。75楼的答案对的，但是请教ys老，如何思考呢？
另外，我发现老程兄时间还早，有点眼花“梦游”了，这个帖子里没有出现梦游人兄啊。

showcraft

汗，不得不说，这道三个思路的题目我没有继续跟进，有空再好好吸收ys老的高见。

showcraft

74楼已经出了，可惜ys老只说了答案，还没说过程，估计还没顾得上吧。
那就再出道和74楼类似的题目，其实是和Ross的书越来越远了，呵呵。
听说张小强最近拿了奖学金,一个强盗闯入他的寝室.发现张小强的把钱放进了保险箱里面.有N个保险箱N把钥匙,每把钥匙恰好能够打开一个保险箱,每个保险箱也只有一把钥匙能够打开.钥匙锁在保险箱里,每个保险箱里面一把钥匙,方法是随机的.强盗可以选择打破K个箱子取出钥匙,问其余的保险箱均可以用钥匙打开的概率是多少?

showcraft

晓梦101楼得归纳法证明，用的条件概率，没有问题，ys老说的不全面其实是多余了。
这道题目用归纳法当然可以，只是本质的内容，我还没想明白，似乎是和n元对称群的k重置换有关。

showcraft

ys老多虑了。
K/N代表的是打破n个箱子中的k个，已经把所有n个箱子打开了，所以第n+1个箱子的钥匙只要不在自己肚子里，就行了，而这个概率是n/(n+1)，两者相乘就是条件概率，没有问题。

showcraft

由于精力有限，此书没能继续读下去。最近一段时间梳理了下线性代数，接下来应该重温微积分，估计要等到明年才能go on了，呵呵。

showcraft

新题目来了。
把长度为1的线段按任意方式折成三段，求他们能构成三角形的概率。

showcraft

晓梦兄确实高手，佩服。

showcraft

少了ys1937少了不少精彩。
老程 发表于 2013-3-26 21:48

深以为然啊。

showcraft

发一道昨天花了不少时间解决的排列组合题，当然思路是计算机科学的动态规划，纯组合学上的通用的closed from的答案目前还是没办法找到。

http://www.douban.com/note/269136472/
DP解决一道排列组合（湫秋系列故事——安排座位）
2013-03-30 20:33:28
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4532
湫秋系列故事——安排座位
Time Limit: 20000/10000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65535/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 143    Accepted Submission(s): 38Problem Description
　　为了给腾讯公司找到更多优秀的人才，HR湫秋最近去某高校组织了一次针对该校所有系的聚会，邀请了每个系的一些优秀学生来参加。　　作为组织者，湫秋要安排他们的座位。这并不是一件很简单的事情，因为只有一排位置，并且位置总数恰好等于参加聚会的人数。为了促进交流，两个来自相同系的同学不可以座位相邻。湫秋现在希望知道有多少种不同的合理安排座位的方法（任意两个合理的安排方法，只要有一个位置的同学不同，都被认为是不同的）。


Input
输入第一行为T，表示有T组测试数据。每组数据一个N开始，表示一共有多少个系。下面的一行包含N个整数Ai，表示每个系的到场人数。[Technical Specification]1. 1 <= T <= 472. 1 <= N, Ai <= 473. 1 <= Sum(Ai) <= 447


Output
对每组数据，先输出为第几组数据，然后输出结果。由于结果可能很大，输出对1,000,000,007 取余后的结果。


Sample Input
3 2 1 2 2 1 3 3 1 2 3


Sample Output
Case 1: 2 Case 2: 0 Case 3: 120


Source
2013腾讯编程马拉松复赛第一场（3月29日）


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liuyiding

我的思路：
这道题目是组合学的范畴，如果纯从组合角度考虑，利用容斥原理，也不是不能解决，只是会相当繁琐，布鲁迪《组合数学》第六章的习题17是一道类似的变例，当然这道题目与之还有区别，因为前者只需要同一个系学生的不全部连续排列即可，而这道题目需要同一系的学生两两分开。既然是算法题目，那就换种思路，用动态规划，DP来解决吧。
这里有n个系，按照最终人数由少到多排列为a1，a2，...，an
令N（c，b1，b2，...，bn）表示在{b1，b2，...，bn}人数情况下同系学生两两分隔的排列数，其中c=b1+b2+...+bn
那么现在来了第c+1位第x系的童鞋，不妨设x=n，现在的问题就是N（c+1，b1，b2，...，bn+1）如何递归推导出来？
首先任意一种原先c位已经排好序的序列中，共有c+1个空格可供我们的第c+1位童鞋排入，而他不能与其中的bn位系友相邻，因而只有c+1-2bn种位置。值得注意的是，这只是符合条件的一种情况，即新插入的同学插入到满意的位置，而该位置左右包括他本人在内，三位同学来自三个不同的系。
另外不能遗漏的一种情况是他插入到某个位置，该位置左右两位同学来自他不同的某个系。这种情况下，需要对n系之外的n-1个系逐一检查，如果这n-1个系中任何一个系有大于等于2个学生来参加聚会，则都应予以考虑。
综上，递归式如下
N（c+1，b1，b2，...，bn+1）=N（c，b1，b2，...，bn）*（c+1-2bn）+2[N（c-1，b1-1，b2，...，bn）+N（c-1，b1，b2-1，...，bn）+...+N（c-1，b1，b2，...，bn-1，bn）]
之所以第二种情况需要乘以2，是因为在考虑过程中将排在C同学前后的两位同系学生比如A和B，等价为A来考虑，但在具体情况下，A，C，B与B，C，A是两种不同情况。
很明显，边界条件为N（c，1，1，...，1）=c!，且N中任意一项若小于等于0，则N为0。
以N（6,1,2,3）来举例说明：
N（3,1,1,1）=3!=6,
N(4,1,2,1)=N（3,1,1,1）(4-2)=12=N(4,1,1,2)
需要说明的一点是，任意非递增序列的N数值上与递增序列相等，即N(4,1,2,1)=N(4,1,1,2)，但要保持序列的对应关系。这点计算上的技巧接下来就会碰到。
N(5,1,2,2)=N(4,1,2,1)（5-2）+2*N（3,1,1,1）=12*3+2*6=48
N(6,1,2,3)=N(5,1,2,2)（6-2*2）+2*N(4,1,1,2)=48*2+2*12=120
OK，至此，整个dp的思路应该说的比较清楚了。具体code我就不写了，毕竟数年没有coding，生疏的不成样子，呵呵。
这两天还在着手写《具体数学》的读书笔记，Stay tuned！