当年初中几何考试的一道附加题

亦工亦农

任意直角三角形的两直角边之和小于斜边与垂距之和。

qshuiyu

应该可以纯代数运算证明

psyzjs

纯几何方法也可证明。

shen

ab=cd
(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=c^2+2cd<(c+d)^2

吹一下，这题，虽没做过，半分钟就做出来了，当年可是平面几何的高手呢

shen

纯几何方法，半分钟搞定

相似形就可以了

a/c = d/b
1-a/c = 1-d/b
(c-a)/c=(b-d)/d
because c>b
so c-a>b-d
so c+d>a+b

亦工亦农

楼上厉害
记得当年班里没有人做对，老师公布的答案是第一种，SHEN兄的第二种方法太妙了。

shen

也太小看我了吧,这题 烦点,也不至于需要半小时以上吧,
DE是AB中垂线,所以延长BC,DE就可以了,最后得出60

就这样风雨兼程

纯几何方法，半分钟搞定

相似形就可以了

a/c = d/b
1-a/c = 1-d/b
(c-a)/c=(b-d)/d
because c>b
so c-a>b-d
so c+d>a+b
shen 发表于 2011-11-25 14:57

人的能力有大小，我真的是没有看明白，不懂肯问总没错的。 我大胆问了： Shen，为什么a/c=d/b 呢？

老程

ab＝cd
这个等式我居然也记不得鸟。

亦工亦农

都是面积的二倍，三角形的面积是底乘高除以2。

ys1937

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李苗

13# ys1937
楼上这是干什么，似乎与主题无关。

ys1937

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    抱歉，图发不上来。要看明白下面的叙说，你得自已画张图。
    我的同学，张景中院士平反后，早期一直在从事平面几何问题“面积化”解法，现在我试着用这一思路来证明这一命题。
    上图中：
    左边：从上到下三点记作A、B、C，
    AC = a
      AB = d
     中间那条横线：自左至右三点，记作B、D、E
     BE = c
     BD = b
    右上角顶点记作 F
    最下边一条横线右边顶点记作G，最上面一条横线中间一点记作H
    由：ab = cd
   所以：矩形ACGH面积 = 矩形ABEF面积
  矩形BCGD面积 = 矩形EFHD面识
  因为CG大于EF：b > d
    所以BC小于DE。
    a - d < c - b
    a  + b < c + d

ys1937

**

    上述方法如果变化成代数式的运算，可能更简便：

    ab = cd
      ab - db = cd - db
    (a - d )b = (c - b)d
    由 b > d
    得 a - d < c - b
    a + b < c + d

    说明：等式 “(a - d )b = (c - b)d ” 在图形上代表“矩形BCGD面积 = 矩形EFHD面识”。

ys1937

13# ys1937  
楼上这是干什么，似乎与主题无关。
李苗 发表于 2011-11-26 10:30

**

    干什么？是“有理取闹”也。
    小苗子，看懂了没？

李苗

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    干什么？是“有理取闹”也。
    小苗子，看懂了没？
ys1937 发表于 2011-11-26 11:02

看懂了。高。哈哈

ys1937

**

    数学，不仅是“证明”，而且要“简更求简”，这才是数学之美，才是锻炼人大脑的捷径。

psyzjs

人的能力有大小，我真的是没有看明白，不懂肯问总没错的。 我大胆问了： Shen，为什么a/c=d/b 呢？
就这样风雨兼程 发表于 2011-11-26 09:26

相似三角形嘛，两个直角三角形只要各有一非直角相等，则两者相似；相似三角形对应边成比例。

shen

晓梦,你将那图重发一下,我这看不到,不清楚A,B,C的关系

坦率的说,我对你的问题没太多兴趣,因为显然,你对什么是好的数学,是不太清楚,你我根本不是一个层次之上,我和你有什么好说的呢,不过我还是愿意看一下你的题目

水笺

佩服1937老师傅解题！

老程

佩服1937老师傅解题！
水笺 发表于 2011-11-26 12:15

北大数力系的嘛！

老程

晓梦是什么滴干活？好像没他不精通的事？？？

亦工亦农

1937前辈也是高人，只是叙述的图我没看懂，16楼的运算和SHEN网友的第二种方法虽相似但也构思独到。

楼上的题做了半天，还是没结果，用软件汇了下图，角CDE=20度。干脆求证角CDE=20度好了。
另外问一下楼上，必须用初中平面几何来求证吗？似乎正弦或余弦定律可以算出，但该定律我早忘光了。

ys1937

**

    活到老，学到老，总算学会了用制画板作图，再把画转化为JPQ画的方法。
    图在15楼补上了。

三苗

26# 亦工亦农

ys1937

21# shen
那我就再贴一遍，同时放在附件里。
没想到一道几何题不仅能分出什么是好的数学，而且能分出人的层次。太夸张了吧。

等腰三角形ABC。A是顶角，B，C为底角。角ABC=角ACB=80度。D，E 分别在AB，AC上。角 ...
晓梦 发表于 2011-11-26 13:13

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    晓梦，请先公布答案。
    谢谢。

ys1937

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     图发不上，奈何奈何！

ys1937

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    且等晓梦的答案！

ys1937

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    晓梦，请发张图在下面，我发不上来。
    复制了你的图也发不上来。

亦工亦农

这个图是准确的