[讨论] 给Ross的《概率论基础教程》盖个楼

showcraft

相对于比较晦涩的微积分与线代，我想概率论应该更贴近生活，更为群众喜闻乐见。
最近开始看Ross的《概率论基础教程》，很好的教材，推荐看英文版，因为中文版有得地方翻得我觉得含混。
中文版
http://ishare.iask.sina.com.cn/f/23064043.html

英文版
A First Course in Probability
http://ishare.iask.sina.com.cn/f/33805215.html

英文版douban
http://book.douban.com/subject/3715244/

昨晚看完了第一章，其中打星号的1.6节，方程整数解的个数很精髓。
打算给这本书，或者说给老少咸宜，趣味盎然的概率论盖个楼，采用趣味题目，再加上作者优美总结（结合楼主自身理解），有感兴趣的童鞋可以冒个泡，你们的id有可能到时候我还得在题目中借用下，呵呵。
先来应景出个题目给助助兴，开个头：
众所周知，比如说，周末泽雄大牛签名售书，有10名激动的燕友相约排队去参加。楼主负责统计，然而这10位神秘的匿名燕友均不肯透露自己的id（也即认为这10人不可区分），只说了自己的个性，楼主发现其中有4名急性子，6名慢性子（比如楼主）。假设届时现场排队可以随意，因为泽雄老师均会为诸位花痴粉丝一一签名握手，大家不用着急哈。问题1，这4名急性子，6名慢性子的匿名不可区分燕友长队排列，共有多少种方式？
现在假设排列队伍中任意两位急性子不可相邻，因为怕急性子话赶话，或者你推我搡，发生不愉快哈（题目需要，不是要黑急性子燕友，呵呵）。那么请问，问题2，这4名急性子，6名慢性子的匿名不可区分燕友长队排列，任意两名急性子不可相邻，共有多少种方式？
假设情况又有变化，由于民间马路社社长旧苗兄人肉搜索功力实在强大，这10名燕友的身份被他一一探明（也即现在各人之间都可区分），那么这种情况下，依然对应上面两种情况，各有多少种排列方式？

ys1937

**

    阿拉来古月讠兑一番如何？
    S 版的语言实在罗嗦，阿拉语文又没学好，如果理解错了，打屁股时，得由S 版和阿拉两个银分摊啊！
    1、 只分急性子、慢性子，旧苗老弟不插手的：
    问题一、好像只有一种，所以说“好像”，怪只怪S 版话没说清楚。
    问题二、C（7，4）：先让六条慢牛（嘻嘻）排起来，因为旧苗不参与，所以只有一种排法；阿拉下令：排队时，每二人间空出一个位置来——这样，连头搭尾空出了七个空位置。
    接下来，就让那四头快牛自已到七个空位置里寻地方排队，也因为旧苗不参加，所以只能算地七找四的组合了。
    2、 旧苗插手了。
    问题一、A（10，10）
    问题二、A（6，6）*A（7，4）

    说明：数学符号实在不好打，这里的C（3，2）、A（3，2）表求组合数和排列数，括号里前面的数表示下标、后面的数表示上标。
    再申明，打屁屁时，S 版得分摊一半哈。

showcraft

呵呵，y老那是杀鸡用牛刀了，除了1的第一种情况外，其他都没正确。
1的第一种情况，也即人员不可区分，确实是我没说清楚，身份上无法区分，但个性上还是可以区分的，所以答案应该是C（10，4）。
另外，排列的大写字母，似乎用P比较多，Permutation么，呵呵。

showcraft

再继续，题目都不算难。
现在假设这10名匿名燕友不可区分（这次个性也不知道，完全不可区分），泽雄老师说了，排成一队太挤也不美观（不好意思，让泽雄老师躺枪了，呵呵），大家分成4队来排吧，队与队之间可区分，比如A队是只签名，B队是签名加握手，C队是签名加合影，D是签名加握手加合影（由于10名成员不可区分，所以每队只有人数差别，队内顺序不用考虑，只牵涉到组合而非排列，或者说用集合或者圈子的概念代替这里的队更合适）。问题1，假设每队至少1人，那么有多少种分队方法？问题2，假设每队可以为空（比如大家都抢着到D队，前三队没人排了），那么有多少种分队方法？
这也就等价于不定方程，x1+x2+x3+x4=10的解向量（x1，x2，x3，x4）的个数。问题1中，x1，x2，x3，x4为正整数，问题2中，x1，x2，x3，x4为非负整数。而这也正是ross书中1.6节所讨论的内容。

psyzjs

这个要MARK。

我对ROSS的书不感兴趣的原因在于仍然是太浅了，无法涵盖先验信息这样很常见的现象。

showcraft

这个一是我个人水平有限，二是论坛盖楼，本就不宜过深。
大树兄可以推荐概率方面有哪些推崇的大师的经典啊？

老程

一门让人头疼的课，考试时没有不会做的题，卷子拿回时却发现很少有作对的题。

ys1937

    问题1，假设每队至少1人，那么有多少种分队方法？
    问题2，假设每队可以为空（比如大家都抢着到D队，前三队没人排了），那么有多少种分队方法？
这也就等价于不定方程，x1+x2+x3+x4=10的解向量（x1，x2，x3，x4）的个数。问题1中，x1，x2，x3，x4为正整数，问题2中，x1，x2，x3，x4为非负整数。showcraft 发表于 2012-10-23 10:55

**

    再来出丑。
    可以设想，把十个人（元素）先排成一列，规定，排好后，相邻两个人之间要空出一个人的位置。然后，叫上三个小孩子出来玩儿。
    问题一、因为十个元素中间出现了九个空档。
    叫三个小孩子每人去占一个空档，同时，不能由二个人、三个人去占同一个空档。
    例如，其中一种办泷是：
    *** * *** * * *** *
    那就代表了分组方法是（1，3，4，2）

    问题二、如果把“头”、“尾”之外也算成一个空档，那末，十个人排队后出现十一个空档。
    先叫上一个孩子，让他去占一个空档；
    第二个孩子再去占位，不过，与问题一不同的是，第二个孩子可以和第一个孩子占同一个位置；
    第三个孩子也类似地占位。
    例如，其中一种占位法是：
    * * * * * * * * * * * * *
    那就意味着分组人数是（0，5，0，5）

菜农

读书时，纯概率论还可以，不过说到群众喜闻乐见，这个可不是这样，几何图像生活中更加直观，概率，如果不抽象，根本不存在群众的意识中。

菜农

实际上的物理世界，可以看做物质在思维空间中确定地演绎，不存在概率问题，是人假设了某种臆测，与实际出现的差异的数量关系，或许是概率的本质。

然而，这个说法也动摇了，世界本身也是概率，这使得爱因斯坦吃惊了，这个问题就不那么喜闻乐见了，想听听高手的解释。

showcraft

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    再来出丑。
    可以设想，把十个人（元素）先排成一列，规定，排好后，相邻两个人之间要空出一个人的位置。然后，叫上三个小孩子出来玩儿。
    问题一、因为十个元素中间出现了九个空档。
    叫 ...
ys1937 发表于 2012-10-25 16:48

回ys老，第一种非空情况，确实就是C（9,3），也就是等价于10个小孩中的9个空当，有三个小孩去占领。
第二种可以为空的情况复杂点，按照ross的方法，他还是利用了第一种，做了变量代换：
x1+x2+x3+x4=10，x1到x4为正整数，为C（9,3）
那么在x1到x4为非负整数的情况下，设
y1=x1+1，y2=x2+1，y3=x3+1,y4=x4+1
现在有y1+y2+y3+y4=14，对y1到y4套用第一种情况，答案为C（13,3）

ys1937

**

    ROSS的第二题的解题思路是比较巧妙的。
    他的答案是：13*12*11/（2*3） = 26*11 = 286
    我的办法比较笨，答案是：
    十个人排列后，出现11个空档。
    （1） 如果三个小孩子每人进一个空档，且一个空档最多进一个小孩，那么有C（11，3）= 15*11种进入法；
    （2） 如果这空档进入时，有二个小孩是进同一个空档，另一个小孩是进另一个空档的，那么，进法有A（11，2）种，即10*11种。
    注意，因为一个进二人，一个进一人，二者间可交换，因此，是排列而不是组合；
    （3） 三个小孩进同一个空档，进法有11种。
    合起来是：（15 + 10 + 1）*11 = 26*11 = 286种。
    当然，这是笨办法。

   说明，排列号用 A 不用 P ，这你得问编教材的人，为什么？

psyzjs

这个一是我个人水平有限，二是论坛盖楼，本就不宜过深。
大树兄可以推荐概率方面有哪些推崇的大师的经典啊？
showcraft 发表于 2012-10-25 15:09

showcraft童鞋，坛子上数学专业或数学素养精深者甚众，我一个数学的门外汉真不应班门弄斧。

只是从概率论对本专业的重要性的角度，我认为贝叶斯理论更重要些。

如果是纯的概率论，我认为FELLER的东西最经典，KOLGLOMOV的东西老了点。有本叫做《概率论沉思录》
的书编的不错。

对于应用部门的东西，我认为真正在实验室或第一线工作的大家才是牛人，心理学界D. Luce，D.Wichens，还有
半路出家去搞统计的Rubin的东西很牛，有个韩国人Myung的东西也不错，他的导师J.Busymeyer更牛。我看应用
方面的多，理论概率论读的少。关键要实用。

psyzjs

10# 菜农

菜农前辈，我有拙见：没有认知，世界的存在对人类或其它动物而言是没有意义的。

showcraft

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    ROSS的第二题的解题思路是比较巧妙的。
    他的答案是：13*12*11/（2*3） = 26*11 = 286
    我的办法比较笨，答案是：
    十个人排列后，出现11个空档。
    （1） 如果三个小孩子每人进一个空档， ...
ys1937 发表于 2012-10-26 10:47

回ys老，我读书的时候，大概十年前教材用的还是P，也许现在改成了A了。
Ross的方法，也可以等价如下：
10个小孩子排好队，再请来4位，因为均不可区分，然后再在队伍中的13个空档中插入3个小孩子，每队非空，然后每队再抽出1名小孩子，这样就可以了。

showcraft

14# psyzjs 多谢大树兄不吝赐教，等精力允许我会选择涉猎。不过目前精力有限，且Ross门槛相对较浅，我还是先专攻他的书吧。

psyzjs

14# psyzjs 多谢大树兄不吝赐教，等精力允许我会选择涉猎。不过目前精力有限，且Ross门槛相对较浅，我还是先专攻他的书吧。
showcraft 发表于 2012-10-26 20:20

书是死的，人是活的。活的东西不能被死的东西牵着转悠，那叫本末倒置。

ys1937

**

    解决一些初等的排列组合问题，愚以为有两条值得注意：
    1、 把较复杂的问题化解为等价的基本排列组合问题。
    例如，把多元不定方程的正整数解（或非负整数解）的个数问题化解为等价的“插队、占位”问题。
    2、 把参变量的个数减少，但不改变问题的性质，以取得经验。
    例如，S 版提出的第二个大问题（不定方程……解的个数问题）求解时，可以先设想另一个同类问题：  
    X1 + X2 + X3 = 10
     以取得解题的方法。

showcraft

ys老说的第一种，是化抽象问题为具象问题，有利于思考。第二种，正是数学归纳法的本质，如果是我，会从
x1+x2=10开始，呵呵。

ys1937

    第二种，正是数学归纳法的本质，如果是我，会从
x1+x2=10开始，呵呵。
showcraft 发表于 2012-10-27 09:36

**

    把元素缩得太少，有时也不是好事。把问题的典型性改变了，就成“SARS”了。
    比方说这个问题吧，解决这个二元问题最好的解决办法是掰手指（手指不够用脚指也行）。
    （0，10）、（10，0）；（1，9）、（2，8）…………（8，2）、（9，1）。
    哈哈。

showcraft

继续：
假设排队的10名不可区分（除个性可区分外）燕友中，现已知其中6人慢性子，而另外4人急性子，现在不仅是要求这4名急性子在排队中不可相邻，还得考虑到如果有一位慢性子被两位急性子夹在中间，和左右都插不上话，因而附加一要求，即任意两位最近的急性子中间，至少被两位慢性子隔开，现求此种排队方法数。

showcraft

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    把元素缩得太少，有时也不是好事。把问题的典型性改变了，就成“SARS”了。
    比方说这个问题吧，解决这个二元问题最好的解决办法是掰手指（手指不够用脚指也行）。
    （0，10）、（10，0）；（ ...
ys1937 发表于 2012-10-27 09:44

哈哈，想不到ys老也犯了个低级错误，漏了（10,0）了。另外，我觉得没改变典型性，按照ross的公式，答案就是C（10+2-1,2-1）=C(11,1)。

ys1937

**

    没漏啊，第二个就是！
    说到典型性，当然也可以说。
    不过，上面我说过，解决二元问题时，学生首先想到要用的是“SARS”方法啊。

showcraft

哈哈，那是我看漏了，抱歉。
“SARS”方法是啥子方法呦？

ys1937

哈哈，那是我看漏了，抱歉。
“SARS”方法是啥子方法呦？
showcraft 发表于 2012-10-27 10:18

**

    四元减成三元，最佳方法是一样的。再减二元，最佳方法就是掰手指了，就是“非典型性解题法”（即SARS）了。

showcraft

这次ys老，您真的搞错了。n个元素划分为r个可空集合，为C（n+r-1,r-1）,如果用数学归纳法证明，那么初始情况，r就是取2，所以还在典型内，如果r取1，则就是您说的sars了。

ys1937

    假设排队的10名不可区分（除个性可区分外）燕友中，现已知其中6人慢性子，而另外4人急性子，现在不仅是要求这4名急性子在排队中不可相邻，还得考虑到如果有一位慢性子被两位急性子夹在中间，和左右都插不上话，因而附加一要求，即任意两位最近的急性子中间，至少被两位慢性子隔开，现求此种排队方法数。showcraft 发表于 2012-10-27 09:57

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    1、 相当于不定方程  X1 + X2 + X3 + X4 = 10 有多少组“每个元素都大于 1的正整数解”。
    2、 既然每组解里每个元素都大于 1，那么，把每个元素减去 1，岂不就是一组另一个不定方程式 x1 + x2 + x3 + x4 = 6 的正整数解；反过来，如果得到不定方程x1 + x2 + x3 + x4 = 6 的一组正整数解，在每个解上加上 1，又是不定方程 x1 + x2 + x3 + x4 = 10 的一组“每个元素都大于 1”的正整数解。
    3、 由此，上述问题的解是C（5，3） = 10。
    4、 既然答案数字很小，应该可以掰手指写出来了：
    因为任一组解里每个元素都不小于 2，四个 2加起来就是 8，所以“活动的数”只有二个“1”或者一个“2”。
    二个“1”的有（3，3，2，2）、（3，2，3，2）、（3，2，2，3）；（2，3，3，2）、（2，3，2，3）；（2，2，3，3），共 6组——相当于把二个 2放到四个位置里的二个位置（放好了，另二个 3就“自动入座”了）的组合，即 C（4，2）= 6。
    一个“2”的有（4，2，2，2）、（2，4，2，2）、（2，2，4，2）、（2，2，2，4），共 4组——相当于元素 4 进入四个位置中的一个的组合，即 C（4，1）= 4。
    合起来就是10组。
    5、 这样，我们又可以得到“SARS”解法了。
    6、 事实上，当数字不大时，这种“SARS”（非典型）解法有时是相当有用而且可以对学生有很大启发滴。
    7、 说明：其实，（4） 里面的C（4，2）+ C（4，1）是后加的，开始用的是掰手指的“非典型”法。对学生来说，“路子野”一些，不是坏事。

showcraft

佩服ys老，讲解的精到。
按照变量代换的方法
令y1=x1-1，y2=x2-1，y3=x3-1，y4=x4-1
则有y1+y2+y3+y4=6
从此中求出的（y1，y2，y3，y4），y1到y4大于等于1，所对应的（x1，x2，x3，x4），x1到x4大于等于2，所以为C（5，3）。

ys1937

**

    加一层。
    问题：
    1、 求不定方程 x1 + x2 + x3 + x4 = 10 的正整数解的组数，但是要求：x1、 x2、x3、 x4 都不相等 ；
    2、 求不定方程 x1 + x2 + x3 + x4 = 10 的正整数解的组数，要求：x1〈x2〈x3〈x4 。
    3、 把问题 1中方程右边的10改为15，求解；
    4、 把问题 2中方程右边的10改为15，求解。

showcraft

ys老的题目有点意思，我将它推广到x1 + x2 + x3 +...+ xr = m的正整数解的组数，要求：x1〈x2〈x3〈...xr。
还是变量代换：
设y2=x2-x1，y3=x3-x2，...，yr=xr-x（r-1）（下标），y2到yr均为正整数，于是式子化为
y2+y3+...+yr=xr-x1，而xr-x1的取值范围是关键
上限情况，x1=1，x2=2，...，x（r-1）=r-1，xr=m-r（r-1）/2，此时xr-x1=m-1-r（r-1）/2
下限情况，设x1=a，x2=a+1，...，xr=a+r-1，全部相加有ra+r（r-1）/2=m，a=m/r-(r-1)/2（若a非正整数，应就近取整），此时对应了，若a为整数，则下限为r-1，否则为r
确定了xr-x1的取值范围，令下限为正整数p，上限为正整数q，则对y2+y3+...+yr=xr-x1套用ross的方法即可，答案为C（p-1，r-2）+C（p，r-2）+...+C（q-1，r-2）
在本题中，如m取10，则p=q=3，答案为C（2,2）=1
如m取15，则p为4，q为8，答案为C（3,2）+C（4,2）+...+C(8,2)，具体数字我就不算了。
以上是x1〈x2〈x3〈x4的情况，若无此要求，而仅需x1、 x2、x3、 x4 都不相等，则仅需在x1〈x2〈x3〈x4的情况下得出的组数再乘以Pr，即r的全排列即可。