浅淡代数与几何

shen

华老曾有一小诗,数学和文学,犹如她和他，其实改为代数和几何，未尝不可．

历史上，代数和几何的平行发展，可以说是一个奇迹，解析几何对应于初等代数，仿射几何对应于仿射代数，微分几何对应于微积分，拓扑几何对应于拓扑代数，非线性代数对应于分形几何，双方的发展，不约而同，叹为观止．

有些几何上的问题，用代数可以解决，例如拓扑代数的目的就是将拓扑几何代数化，而代数系统往往又对应于一个几何系统，例如非欧几里德几何的代表微分几何，用微积分研究几何问题．

几何最大的好处在于直观化，可以将复杂的代数问题直观化，从而容易找到对应的规律，现代的物理学，同样建立在微分几何的基础上．三维空间上的向量场，张量场可以表示电磁场，这同样是一种几何．

几何和代数的不同点在于，代数研究运算的规律，而几何研究不变性，也就是运算规律中的不变性，因此几何本质上是用群论的方式研究代数．平面几何对应于刚体运动群，仿射几何对应于仿射群，微分几何，自然对应于连续的李群．

例如，在平面几何中，并不研究具体的角度计算，而是研究不同角度以及不同边之间的关系，相对于代数，几何不仅直观，而且往往能避免复杂的计算下研究客观规律．

但使用纯几何的方法研究问题也有局限性，很多问题，如果能引入代数计算，那么分大大增强分析的能力，因此很多几何上的难题，可以用代数的方式进行解决，例如在微分几何中，曲线曲面上的规律自然是一种几何，但如何将这些曲线曲面代数化是有趣的话题，华人中数学家丘成桐先生的贡献之一就是用微分方程等代数的方式解决微分几何难题．

将代数几何化，同样是非凡的，２０世纪数学研究的重心就是代数几何学，几何的优点在于直观性，因为需要一种直觉，而代数系统，对应是一种逻辑性，这是二种思维方式，华人最优秀的学者，在几何方面是陈省身，丘成桐，代数方面则有华罗庚，陶哲轩

psyzjs

这文章有点意思，但貌似尚未写完。

shen

大树，这几天有点忙，没空上论坛。有空点想写什么才是真正的难题，什么是有意义的求解。

所谓解难题，非越难越好，确需了解难题是如何求解，过程往往比结果更为重要。

所谓自然科学，首要任务是发现自然规律，世界性的难题，之所以吸引人，并非是为了证明某人的智商，也并非仅是为了一个结果。

作为难题，如果很多人很长时间无法解决，这就意味着，这道难题，可能需要思想上的突破，需要方法上的突破，这才是解决难题的关键和意义之处，如果方法突破了，并可以适用更多的问题，那么就太有意义了。

正因为如此，如果仅是为了解决一个问题，方法再巧妙，如果不能推广，不能有认识上的突破，那么作用仍是有限的，只能当游戏，并不值得推崇，这也是历来数学教育并不鼓励游戏化的原因。从某种角度上来说，奥数也是一种游戏，游戏玩得再好，也不能代表数学水平。

用平面几何的方法，可能只能求解有限几个角度的SIN值，如何求解任意角度的SIN值，就不是平面几何可以对付的，必须要有思想上和方法上的突破。真正解决这个问题的是微积分。也正因为如此，我认为晓梦那平面几何题，辅助线再巧妙，也只是一种游戏，反倒是看上去容易的代数解法、以及最笨的解析几何方法，才是反映数学的真谛。

很多人居然真的将解难题当成自己智商的证明和最大目的，乐此不倦，居然有人认为一道平面几何能戳到了本人的痛处，岂不搞笑？这些东西，本人只会浅尝即止，不可能太在意。

若论数学之难，那种有意义的难度，绝非一二个让人难以想到的技巧，而是抽象且有普适性的方法，这正是数学发展的主流，这里自认为聪明的人，可以去看看近现代数学理论，没有真正意义上的抽象分析能力，可能边际也摸不着。

近代数学的基础，以近世代数为代表的抽象代数、实变函数、泛函分析、概率论、微分几何等为起点，这里面的每一门学科，都将数学分析的范围大大扩展了，也大大提高了人类对自然的认识能力，而某些学科，甚至不能让当时的人充分承认和理解，当杨振林发现自己苦苦研究的物理模型居然与微分几何不谋而合时，问陈省身，为什么数学家并不知道这些模型，就能凭空想像出如此有意义的数学概念，陈省身说，这不是虚构的，因为这些都是真实的。

顺便再来简要介绍一点数学分析的应用，以菜农为例。

菜农貌似喜欢以图的方法而不是语言解释问题，那么这些归结到一个问题，图是二维的，语言是一维的，图是否比语言有更强的表达能力？

答案是悲观的，图根本不强于语言，因为如果从离散和逻辑上来考虑，任何一个离散的有限的二维信息都可以序列化到一维上去，因此，人类的公理系统，用一维的语言就够了，没必要用图。

那么，人们为什么还是喜欢有图呢，因为图更直观，更符合形象思难。

菜农开了个拓扑电阻题，我说那根本不是拓扑，一维的拓扑是图论，图论只研究点和线之间的关系，那个图点和点之间乱乱的，有的点之间有关系电阻，有的没有，就是点和点之间空连着，不是拓扑。

当然菜农要不服气，拓扑是研究不变性的，那么电路等效性这也算是一种拓扑，没准可以叫菜农拓扑。

但是问题并不这么简单，前辈数学家，之所以这么定义图，是有原因的，图由结点和点之间的边构能，每个点表示一个实体，点与点之间的边表示实体间的联系，从而可以抽象到任意关系，所以，这么定义下的图，可以有很强的普适性。

如果真要将菜农的电路图当数学来考虑，首要做的就是规范化，将那些二点之间没有电阻的边去掉，因为这些边，根本不能代表任何一种有效的关系，规范化以后，就是正常的图了，结果也就一目了然了，没有任何难度。

所以，真正有意义的数学发展，不是走一条艰难崎岖的小道，而是选择一个好的方法去挖掘一条大道。

著名的B学派，将数学难题分为大致以下几类

1.无法解决的
2.孤立的
3.有联系的
4.可以带来新方法的

1类问题在初等数论中比较多，这种问题，很难找到与周围理论的联系，所以极难，无望解决，2 类问题，如同海洋上的孤岛，联系很少，例如著名的1+1=2难题，就算解决了，对解决其它难题没有什么帮助。
3 类问题，解决的同时，可以解决一系列问题，自然有意义，而4类问题，具有更强的普适性，可以在解决的同时创建新的理论，如五次方程无求根公式问题，伽罗华建立了群论，并成为近代代数的根基。

psyzjs

shen兄，你是否是学数学出身？目前仍在做有关的科研或教学工作吗？不知身栖何处？

因为我发不了站内短信给你，只好在这里问了。叨扰，多谢。

shen

不是学数学的，业余爱好而已，只是懂得一点皮毛，聊天吹牛加我QQ吧754389598

psyzjs

已经加你了。

地铁迷

大喷子，大喷子

菜农

宏论涉及哲学问题，不要僭越边界。

语言与图谁强的问题，这个不要用日常语言“强”字，笼统地瞎说，蛊惑人心。
在我的论文中，已经非常细化了，根本没有说谁强的，语言的语义如果涉及实物世界，如果仅仅是为了给别人说清楚实物世界，那么图像（照片）比语言不知道快多少倍，这个在实践中可以应用验证。

如果语言涉及心理世界，那么，心理世界的语言符号与图形符号不存在对应问题，也就是图不一定能表达内心世界。

至于，几何和代数，那不在我论述范围内。

shen不能因一个题目做不出就认为能解释代数与几何，几何代数的问题涉及哲学问题，都是在超验假设基础上的，未知领域太多，不要盲目议论。

电路等效也是拓扑的一例，是符合形变而相邻关系不变的原则，这个仅仅是简单的拓扑性质，不是全部，拓扑问题定义是开放性的，很多领域还未研究清楚。

菜农

事情只能缩小到具体的领域，尚能确定一些规律，也就是，具体的题目可以做出来或者做不出，也可以做错，做错了，可以认为自己是对的，例如，小孩子说2+2=22，小孩认为自己是对的，还真不能说小孩错了，因为小孩可以自己规定算式，这个算式逻辑上是对的，只是实践上不方便，大人修改了方式，2+2=4，用4来代替两个2，这样，各说各有理，还真没有办法。

对错的争论在实践中可以验证，但是也有一个前提，那就是人类的基本概念与行为规则一致，如果一个神经病，不承认常识，那也没有办法。

科学也是一种迷信，比较精确且拥护人多的迷信，我们的其中一个发现，也只能有限人认可即可。
我的图形理论也只是希望少数人认可，不认可的人，要对我具体的结论提出否证，如果笼统的乱说，那我不会认同的。

菜农

关于电路的拓扑性质，可以再仔细商榷，可能是条件没有讲清楚。

1、实际电路，一旦接线端子固定后，电线无论怎样扭动，只要不破坏表皮，电路的各项性质等效，这是等效电路，这种性质很难找到一种最合适的概念，我想，拓扑性质是最接近的一种，因为，不仅在直流电路上，网络连接方式也有同样的拓扑性质，有网络拓扑结构图的术语。

2、电路图的纸面表达性质，我上次表达的图中，有一个图线路互相交错了，这从图面上说，不是等效的拓扑了，如果shen说的是这个意思，那么shen没有错，是我规定条件没有说清楚。

shen

一群愚民哟,不知天高地厚

菜农

不要笼统骂，我已经把范围缩小后，条件再清晰后，承认你对的地方，可是你笼统地讲什么图比文字“强”不“强”的问题，是否太宏论了？

菜农

确实是在“够了”和“更强”上，前者明显的违背常识，且可以否证，后者意义含糊不清。

老程

这架掐的有“数学”水平，为双方喝彩！继续围观。

ys1937

这架掐的有“数学”水平，为双方喝彩！继续围观。
老程 发表于 2011-12-3 10:11

**

    俺也加入围观者行列。

psyzjs

**

    俺也加入围观者行列。
ys1937 发表于 2011-12-3 10:26

俺顶上去。

shen童鞋，别一下子就蔫儿了，观众正排着队呢！

shen

晓梦哟,能扯成这样,真是恭喜你,能到这种程度,也算是无敌了.

shen

再说一下吧

菜农说的问题,我来深化一下
首先,离散,有限和无限,都有相当的区别,若干数字,是有限且离散的,但如果大到整个整数空间,那就是离散无限的,在这些空间上,一维二维三维并没有本质的区别,因为可以序列化,二维的点如果用(X,Y)表示,完全可以一一对应到一维的Z上去,对应方法就是(0,0)对应到0,(0,1)对就到1,如此等等,正因为如此,我们才可能用书本和语方记录世界,继承文明,但是这种对应不能应用到连续的坐标点上去,一般使用所谓的对角化方法证明,因此,在连续的空间和离散空间有着深刻的不同.

图灵将这种对角化的方法应用到数理逻辑领域,证明了图灵停机原理,同时还可以证明哥德尔不完备定律,20世纪一大进展是计算机科学,这里所谓的计算机科学,不是指通常意义上集成电路,大型计算机,而是指计算机这门科学所研究的对象,集成电路是物理学的应用,不是计算机科学本身关注的内容.计算机科学关注计算的能力,首先,是否所有的真理命题都可以由一个固定的方法计算出来,此外,是否所有的真理也可以通过计算得出
图灵停机原理指出,很多问题是不能通过固定的计算并解决,此外还有哥德尔不完备定律,指出,很多公理系统有某种不完备性,并存在某个无法以本公理系统证伪的定理,反过来说,不存在万能的公理系统,从而证明一切定律.

这二条定律极其深刻,特别是后者,影响到了对人工智能的看法,反过来说,其实是不用担心机器超过人类,但是同样有理由相信,可以无限逼近人类,甚至猜想某个外星球上的高智慧人类制造超过人类智力的机器人.此外,人类对真理的认识,总是无限的,所以,每次革命,只是对原有的思想的改变,也就是固有的认知系统的提升和改革,而在一个封闭的系统内,是无法得到进步的.

上面谈到离散和连续的差别,连续和无限有着密切联系,极限就是一种无限逼近,在连续系统中,一维\二维再到无限维,都有着深刻的不同,例如,不存在二维的生命体,因为二维的生命体不存在消化道,一条消化道将二维生物一分为二,但是三维物体就不一样了,由此可以再次深入的是,不同维数的空间上的物体,会有哪些结构上的不同,并将之分类,在此, 人们并不关心物体的大小\角度,而是关心物体的与长度无关的空间固有性质,例如,我们知道什么是桌子什么是椅子,但是并不关心具体的大小,这就是拓扑学研究的来源.

实际上,弄清楚所用学科的研究对象,渊源等背景知识是很重要的,数学的发展,从某种角度上来说,就是扩展,对概念进行扩展,从而可以研究更广泛的对象,另一方面就是分类,一个过于抽象的对象,如果太泛,就无法深入研究,就必须进行挖掘和分类,当然,数学的成功还在于公理系统,这体现了数学的严密性.

以上的数学思想,早就不仅限于数学,而是深入到各种学科中去,并成为普适性的工具性思维方法,正因为如此才体现了数学的重要性,使得数学成为一种脑力上的体操.

ys1937

这架掐的有“数学”水平，为双方喝彩！继续围观。
老程 发表于 2011-12-3 10:11

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    这架掐得确实是高水平。
    记住：“看棋不语真君子”。
    两人决斗之际，旁观者必须静默！

菜农

【图由结点和点之间的边构能，每个点表示一个实体，点与点之间的边表示实体间的联系，从而可以抽象到任意关系，所以，这么定义下的图，可以有很强的普适性。】
这个已经明白了，图论虽然说图论，却是代数符号的变换，图可以抽象为符号。

拓扑是开放的概念，研究一个一双袜子正穿反穿也是拓扑，自然，一根电线任意弯曲去性质不变也是拓扑，欧拉定理既是拓扑又是图论，只要是图，必有图论属性，又有拓扑属性。

这个争论实在没有什么意思，只要是一旦条件细化后，争论就从开放变成唯一性，唯一性可以实证，如电路问题，我们假定电线电阻无穷小，磁场忽略，那么等效电路与拓扑的等价性存在同一，推翻这个结论，需要否证。

psyzjs

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    这架掐得确实是高水平。
    记住：“看棋不语真君子”。
    两人决斗之际，旁观者必须静默！
ys1937 发表于 2011-12-4 20:25

老于，我旁观旁观者应该不算是过错吧？

ys1937

    我旁观旁观者应该不算是过错吧？
psyzjs 发表于 2011-12-5 07:24

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    嘻！
    大树搞错了。
    “旁观旁观者”——便衣乎？

菜农

太牛了，晓梦是重量级的，不仅数学好，而且语文也好，这样的话，差不多天下无敌了，不知道燕谈还有隐居高手没？经常最后的高手不发言的。

我是稀里糊涂被shen拉来做对手，结果，晓梦帮我狠狠还击了一把，要是我与晓梦单挑，那我彻底完了，用上海话说：不知道被惯多少条马路。

shen

晓梦，单纯形，N维多面体的构造，仍是拓扑研究的内容，呵呵，所以不要再显摆你的皮毛了，你的知识量有多少，水平有多少，自我看你的第一个贴子就知道了，你的能耐有多少，一眼即知，没有什么好说的。

以前觉得你挺天真，现在觉得你挺傻的，傻得有点可爱，你这样骂来骂去，能证明什么，是不是在众人的围观之下，证明你一个女人的的无知，凶悍？？并将之展现在大众之下？？？然后自以为是？

诚然如此，你在贴子显摆的那些中国字画，书桌，有什么意义，你的那些漂亮名字，晓寒什么的，又有什么意义呢。你这样的人，一辈子浅薄与无知，还当成有文化？？

就算是辩论，你的水平也是拙劣的，一味的骂街，抓不相干的细节，没有策略，没有头脑，没有幽默感，我当你是女人，不与你计较，你还得意起来了，你看看你的表现，和悍妇有什么区别。

至于菜农，还是省省吧，没见过你这样不知羞耻的人，不就是因为我的直言破碎了你的“天才”梦想吗，你看看你写的那些书，连基本的条理性和章法都没有，然后居然还印成书来发放，真是无知到极点，你知不知道，你送书的这些人中，有不少是学术界的人，他们对你的“学术”水平是很清楚的，不过是给你一些面子，而你自认为在社会上得了些利益，欲望得到了膨胀，就想捞名头了，知识、学术，不过是你们身上的一层画皮，别人看了好笑，你却当成真，人是不能这样无知的。我不过是指出你的一点认识上的问题，你就要将之当成面子问题，无耻的怂恿晓梦，将你逐出去是无比正确的。你那点小花招、小花样在我面前能有个啥，你还是省省吧，以前见你被人贬得可怜，算是同情你，现在看来，你不值。

说到最后，就是一句没文化，有人问我，为什么中国人明知很多事不对，为什么还要去做，我说，因为没有文化啊，没有文化的人，就是这样的，文化不仅是有一些皮毛的知识，而是要有底蕴的，没有文化底蕴，就是你们这个样子啊。

黄馨

好看，真枪实弹1

菜农

笼统的骂人是没有用的，要具体说出否证来。
笼统地骂晓梦是悍妇，骂我是不知羞耻，这样不行，一定要抓住具体的错误。

如果提不出证据，笼统地说别人不知羞耻，那是嫉妒。

我的书原创部分相当多，难免存在错误，有些文字由于校勘不慎，也存在问题，只要是具体的问题，都可以批评，都可以否证，如果否证不了，那就暂时可以成立的。

我的学术水平确实不高，但是缩小到具体的小范围，只要我原理上讲通，实证结果又正确，是可以成立的。

世界新技术发展太快，图形以爆炸的速度代替文字，成为符号的中心，文字逐渐成为图形注脚而退出舞台中心，纸媒逐渐式微，这些现象没有人系统的总结，即使有人总结，却错误很多，我纠正了他们的错误。

其中，图形界最大的错误是，图形的信息特性与物理光学特性不分，具象图与抽象图不分，文字描述的对象也不分，导致认识混乱，由于不细分，关于效率的争论就非常混乱。

当锁定在图形符号信息的沟通效率范围内，那么图形被定义为表达思想的符号。
当表达的思想是关于客观实物的，图形比文字有无以伦比的优势，而在表达人类抽象思维上，图形并不占优势，而且抽象思维的图形化的语法问题没有解决。
图形界往往只看接收端的效率，而不看发生端的效率，当一个人要表达思想时，由于文字的概括性和指代性具有效率，人们喜欢用文字，这就是可以解释，论坛上大家都喜欢用文字争论，很少人用图形。

所以，产生与接收是一对矛盾，人类社会符号体系由文字变成图形，是综合效率驱使，是看不见的手所谓。

这些道理并不高深，但是我找不到前人总结，只好认为我第一总结。

关于两维信息可以归通到一维，在有限范围内，这句话学理正确，但是，实践时，毫无价值。

而无限的两维信息是否都可以归纳到一维信息，这个是哲学问题，大家都没有搞清楚的。其实也就是人类认知极限，因为，照理，两维是无数一维组成的，人类总认为两维信息比一维多，可是又说，只要有两维的信息，都可以由一维对应，这样，认知矛盾，是典型的哲学问题。

晓梦的数学比我好，我已经说了，没有怂恿晓梦。

以前，那些贬我的人，都像你一样，因为，他们看书很多，但是不聚焦，有明显漏洞，都是笼统的骂，而具体否证又提不出来，最后证明，他们贬我的少数几个人学术上不如我，而支持我的人，学术水平都比我高。

菜农

燕谈确实不凡读书万卷的牛人，不过，读书不实践，不写书，会有一个问题，既欣赏品味越来越高，眼光越来越高，然后瞧不起别人，自己具体漏洞很大，却要笼统地骂别人。

希望引以为戒。

ys1937

**

    提醒：莫成泼妇骂街，要高水平。

psyzjs

燕谈确实不凡读书万卷的牛人，不过，读书不实践，不写书，会有一个问题，既欣赏品味越来越高，眼光越来越高，然后瞧不起别人，自己具体漏洞很大，却要笼统地骂别人。

希望引以为戒。
菜农 发表于 2011-12-5 11:34

还是要做实验。写书也得有来源、有根据才行。不能胡扯。

童志刚

讨论很精彩，用词须谨慎。