ys1937

经济地解决问题，建立简单的模型：如果机舱只有两个座，最后一位坐到正确的座位概率是多少？机舱三个座呢？四个座呢？如果都是百分之五十，那么不管一百座还是两百座，最后那位坐到正确位子的概率也是百分之五十。
邱晓云 发表于 2011-11-30 15:11

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    梦幻地解决问题，建立简单的模型：如果买彩票只有两个人，最后一人得头奖的概率是多少？三个人呢？四个人呢？如果都是百分之五十，那么不管一百万人还是两百万人，最后那位得大奖的概率也是百分之五十。
    嘿嘿，祝邱版今晚做个好梦——得大奖！

邱晓云

梦幻地解决问题，建立简单的模型：如果买彩票只有两个人，最后一人得头奖的概率是多少？三个人呢？四个人呢？如果都是百分之五十，那么不管一百万人还是两百万人，最后那位得大奖的概率也是百分之五十。
    嘿嘿，祝邱版今晚做个好梦——得大奖！ys1937 发表于 2011-11-30 15:37

希望先生再看一遍题目，这不是彩票题，就像先生说的：不要把问题想得很复杂，用最简单的思维去考虑这个问题，可能反而最容易得出结论来。

我九点四十五分会把更简单直接的推导过程写出来。

ys1937

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    邱版，跟你开玩笑的，不要恼，老生这订有礼了。（如用小生，反而不敬了。）
    俺到十点钟再睡，等你的解法。

邱晓云

没关系，没关系，我只是有点奇怪，难道可能有别的答案吗？

ys1937

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    把问题人数缩成三人：A、B、C
    三人全力到的座号分别是1、2、3
-------------------------------------------
   A  B  C  （表示进入次序为A、B、C）
  1  2  3   （A坐1号位…………）
1  3  2
  2  1  3
  2  3  1
  3  1  2
  3  2  1
这表明，最后一人（拿到3号位票的 C）有1/3可能坐自已位子。

  待续…………

ys1937

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  A  C  B
  1  2  3   
  1  3  2
  2  1  3
  2  3  1
  3  1  2
  3  2  1
  C也有1/3可能坐自已位子。

ys1937

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  B  A  C
  1  2  3   
  1  3  2
  2  1  3
  2  3  1
  3  1  2
  3  2  1
  C还是有1/3可能坐自已位子。

这样共六种进入次序，每种下面，C坐3号位都是三分之一可能。
因此，C坐3号位的概率是1/3。

把人数扩大为100人，那么可以猜测：第100人坐第100位的概率是1%。

再调侃一下，邱版把可能扩大了五十倍，所以你容易彩票得大奖——等你的解题方案噢！

邱晓云

这道题也很有趣，有兴趣的可以试试：

一架100个座位的飞机，100位乘客排队准备登机。这时第一位乘客找不到登机牌了，无法知道自己的座位号。于是空姐说，进去随便座吧。

从第二位乘客开始，都根据这个原则就座：如果自己的座位空着就坐自己的位置；如果自己的座位已经被别人占了，就随便选个没人的座位坐。

问：最后一位乘客登上飞机时，发现自己的座位还空着（也就是说他可以坐在自己预定的座位上）的概率是多少？晓梦 发表于 2011-11-29 22:04

你再看看，你那三个人的模型对不对。

ys1937

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    认错，没看清题，不过，也可以重解。
    还是三个人：A、B、C
    进入的次序六种：
    A、B 、C；     其中A没有座号，随便坐的。
    1   2    3
    2   1    3
    2   3    1
    3   2    1
    概率为50%

    四个人：A、B、C、D
               1   2   3   4
               2   1   3   4
               2   3   1   4
               2   3   4   1
               2   4   3   1
               3   2   1   4
               3   2   4   1
               4   2   3   1
     概率也是50%

    邱版正确，中大奖！

邱晓云

A可以在1,2,3中任选，选1的可能为三分之一，当A选1时，B的2位子空着，B自动选2，C就得到了3，当A选3时，C当然无论如何得不到3了，当A选2时，B不能选2（已经坐掉了）B只能在1与3中二选一，选1的可能二分之一，C有这三分之一中的一半------六分之一也可得到3。所以C得到3位的可能是A选1的三分之一加A选2那三分之一的一半-----六分之一，总共二分之一。

ys1937

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    回到100个人的问题：
    第一人有二种可能，选1号位或者选它后面的M号位。（M〈 = 100）
    这时， 在第一人和第M人之间的人都可以坐对号入座。
    第M人有二种选择，坐第1号位，或者坐后面某N 号位。（N〈 = 100）
     如此不断继续下去，到某一次，坐到100号上了，那第100人只能坐1号了。
=========================
    总结，这种“跳棋”有二大可能，即：
    1、 第一人坐1号位，那第100人可坐100位。
    2、 第一人不坐1号位，中间经过若干“跳”，最后一跳跳到100号位。
    这时，中间第一跳的位置，都有二种可能，坐1号位或往下跳。
    而跳到最后100位时，第100人只能坐1号。
    所以，第100人只有两种坐法，坐自已位子或者坐1号位。与第一种（1、）也是各半可能。
    由此，总的概率为50%。

showcraft

呵呵，过十分钟我说下我的推导。

showcraft

假设有n个人，A1，A2。。。An
n个座位，B1，B2。。。Bn
对于最后一个人，也即An而言，他的座位Bn被抢掉，有n-1种情况，即分别被A1，A2。。。An-1抢掉
被A1抢掉，概率为1/n
被A2抢掉，即B2被A1抢掉，然后A2抢An，概率为(1/n)*(1/(n-1))
被A3抢掉，即B3分别被A1或A2抢掉，然后A3抢An，概率为[1/n+(1/n)*(1/(n-1))]*(1/(n-2))
所以An被抢的概率为1/n+(1/n)*(1/(n-1))+[1/n+(1/n)*(1/(n-1))]*(1/(n-2))+。。。
=1/n*(1+1/(n-1))(1+1/(n-2))。。。(1+1/2)=1/n*(n/(n-1))*((n-1)/(n-2))。。。(3/2)=1/2
即被抢的概率总是1/2

邱晓云

郭德纲同志语录：我很欣慰。

邱晓云

这道题也很有趣，有兴趣的可以试试： 一架100个座位的飞机，100位乘客排队准备登机。这时第一位乘客找不到登机牌了，无法知道自己的座位号。于是空姐说，进去随便座吧。 从第二位乘客开始，都根据这个原则就座：如果自己的座位空着就坐自己的位置；如果自己的座位已经被别人占了，就随便选个没人的座位坐。 问：最后一位乘客登上飞机时，发现自己的座位还空着（也就是说他可以坐在自己预定的座位上）的概率是多少？

晓梦 发表于 2011-11-29 22:04

，乾隆皇帝下江南，在镇江金山寺，看江数船，数来数去数不清，就问高僧法磐：“江中船只来来往往，到底有多少条船啊？”
  　 法磐回答：“只有两条：  　一条叫名，一条叫利。”

要问法磬和尚，这机舱里有多少个座位？法磬和尚一定说：两只，一只叫x,一只叫y。确实只有这两个位子重要：第一个进舱遗失了登机卡的X先生坐的位子叫x,最后进舱的Y先生应有的位子叫y;，余下那么多则都是可以忽略的屁民，行行好，给他们编个号，P1~P98,,坐p1~p98。

本质上，X先生是在x座与y座中二选一，选了x座，屁民各安其座，Y先生顺利得到y座;选了y座，屁民还是各安其座，只是Y先生必然失去y座。

选了p座呢？无论是p1到p98中的任何座，譬如说p50座，等于将这二选一的权利送给P50先生，这样，P1~P49各位屁民各安其座，P50先生在x座与y座中二选一，当然他也可以选P51以后的其它P先生，其它P先生仍然要么二选一，要么将这权利下传，一直到P98先生，他身后只剩个了没有选择权的Y先生，没有屁民可以推卸责任，必须在x座与y座中二选一，所以无论如何，Y先生总有50%可能得到y座。

showcraft

一针见血，话糙理不糙，邱版，赞一个。

ys1937

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    重新组织一下证明：
    设第一人坐第N1号位（100>N1>=1），第N1人坐第N2位，…………第Nm-1人坐Nm位（Nm<100），而Nm是在100位前路径的最后一位，且m>=1.
    如果我们能够证明，任意这样一条路线中，第100人坐自已位置的可能都是一半，那么，所有这些路线的和中，第100人坐自已位置的概率也是50%。
    证明如下，从1、N1、N2、…………Nm，作为一长路线，都是唯一的，而Nm作为100前最后一站，它有二种可能，即坐1号位（此时第100人坐自已位子）或坐第100位（此时第100人坐1号位）。
    因此，第100人在这一路径下，坐自已位子的概率是50%。
    证毕。

    说明：如m=1，即是中间只停一站。
    如N1=1，即是没有中间站，第一人坐1号或坐100号。

邱晓云

这题目的答案一猜既得，我来出个肯定猜不到答案的，大学生做得肯定比小学生慢的。

很简单：一元人民币兑成零钱，有多少种组合？

showcraft

呵呵，大家老中青三代做题不亦乐乎，其乐融融啊，呵呵。
不知道晓梦兄还有什么趣题，压箱底的不妨都拿出来晒晒。我倒也有不少有意思的题目，如果开辟一个趣题版面，大家以为呢？

showcraft

93# 邱晓云
这得要看就算角，还是要把分也加进去。

菜农

93# 邱晓云
无穷多，做不出

showcraft

我来出个吧：
一个国王抓住了100个犯人。一天他决定把他们都处死。但是在处死之前，国王把他们
召集起来，想给他们最后一次机会。他说将会给每个人一顶帽子戴在头上。每顶帽子上随
机写上1到100之间的一个数，作为编号，且允许重复。同时，每个犯人都可以看到其他人
帽子的编号，但看不到自己的。每个人会得到一张纸条，犯人自己在上面写下一个数。如
果有一个犯人写下的数字和自己帽子的编号相同，所有的犯人都将被释放，否则所有人都
将被杀掉。在国王给帽子编号之前，犯人们将有十分钟的时间来讨论策略，在国王正式给
帽子编号以后就不许再说话或者传递任何信息。这个策略将会是什么呢？

邱晓云

93# 邱晓云  
这得要看就算角，还是要把分也加进去。
showcraft 发表于 2011-11-30 21:42

当然把分币算进去。

ys1937

    一元人民币兑成零钱，有多少种组合？
邱晓云 发表于 2011-11-30 21:36

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    第一步：

        10=5+5
        =5+2+2+1
        =5+2+1+1+1
        =5+1+1+1+1+1
       =2+2+2+2+2
       =2+2+2+2+1+1
       =2+2+2+1+1+1+1
       =2+2+1+1+1+1+1+1
       =2+1+1+1+1+1+1+1+1
       =1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
     一角钱化成零钱，有十种化法（该死的角子，现在没人用了，但是却把这该死的问题复杂化了）。

ys1937

**

     建议：一个题一个帖子。

showcraft

呵呵，枚举吧。其实就是50,20,10,1，来组合成100
等价于求
100=50a+20b+10c+1d
取多少种a，b，c，d（非负整数），如果a，b，c定下来，d自然也就定了，下面就看a，b，c
2,0,0,0
1,2,1,0
1,2，0,10
1,1,3
1,1,2
1,1,1
1,1,0
1,0,5
1,0，4
1,0,3
1,0,2
1,0,1
0,5,0
0,4,2
0,4,1
0,4,0
0,3,4
0,3,3
0,3,2
0,3,1
0,3,0
0,2,6
。。。
0,2,0
0,1,8
。。。
0,1,0
0,0,10
。。。
0,0,0
0,0,0
所以最终答案是
1+2+4+6+1+3+5+7+9+11+1=50种

ys1937

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     上面考虑有失：
    100= 50A + 20B + 10C + 5 D + 2 E + F
     有1 必有2、5。

showcraft

oh my god，我已经对于分没有任何概念了，忘了还有2分和5分
思路其实就是上面这种，这种问题还是更适合电脑编程解决的，分分钟的事情，呵呵。

showcraft

100# ys1937
那我看还不如专开一个趣题版面，涵盖其他数理科学等。ys老觉得如何？

showcraft

当然把分币算进去。
邱晓云 发表于 2011-11-30 21:47

邱版，做人要厚道啊。这种基本枚举死算的题目，做起来近乎折磨，呵呵。