从海岸线问题谈起

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1. 英国的海岸线有多长

从小每次受爱国主义教育的时候，都会提到我国地大物博，有辽阔绵长的海岸线等等。

奇怪的是海岸线的长度经常在变。如果你留心一下有关新闻的话，经常会听到这样的消息：根据我国某某部门，或者某某海军部队的最新测量结果，我国的海岸线长度为1万8千公里，比以前的结果多了5000公里。而且过了若干年，又会出来一个新的数据，而且又多了几千公里。总共就是一万多公里，怎么能一下就多出几千公里呢？

其实“海岸线到底有多长”这个问题是个经典问题，最著名的莫过于1967年法国数学家曼德布罗特在《科学》杂志上发表的一篇题为“英国的海岸线有多长”的论文。 这篇文章开拓了一个全新的学科：分形。甚至影响了人们的世界观。至少对我来说，它几乎帮助我成为一个自由主义者。

我想简单用图来说明这个海岸线问题，画图谈哲学是向菜农学的。上帝啊，请保佑我不要像菜农一样最后走火入魔。


从上面的图可以看出，英国的海岸线长度可以从1400英里变化到2400英里，关键取决于你用多长的尺去量：尺子越长，海岸线越短。尺子越短，海岸线越长。

如果这把尺子比200英里更长，比如1000英里，那么这把尺子根本没法来量英国的海岸线长度，因为整个英国从南到北，从东到西都不够一千英里，在这把尺子下，英国就像一个可以被忽略的小荒岛。而如果继续把尺子缩小到几十米，几米，英国的海岸线可以比中国的1.8万公里更长。

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回复钱兄：身高问题和海岸线问题不一样，一个身高1.777米的人，不管用什么尺子都不会超过1.80米。而海岸线可以无限长，如果尺子可以无限小的话。因为身高是一个点，是0维的，线本来是1维的，只有长度没有面积的。但是客观世界中的线其实是有它自己的复杂度，是超过一维的，它可以复杂到几乎充满了整个平面，就是说一根最复杂曲折的线可以无限接近2维。

回复泽雄兄：海岸线的复杂程度可以用分维来表示。维数本来是整数的，比如1维，2维，3维。有了分形理论后，就有了带小数的维数，据说挪威南部的海岸线是最复杂的，可以达到1.52维，英国的海岸线大致为1.3维。按照泽雄兄的说法，中国的海岸线应该在1.2左右甚至更小，相对来说香港附近维数高一点。

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呵呵，红楼有撕扇子作千金一笑，我妖魔化引来菜农一帖，值得值得。

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海岸线是大自然的鬼斧神工，在数学上科学家也找到了模仿这种复杂曲线的方法，最著名的就是曼德博罗特集。为了简单起见，我就介绍一下科赫曲线，又叫科赫雪花。是由瑞典科学家科赫在1904年提出来的。



上面这个图说明了科赫曲线的形成：三角形的每个边作一个处理，使其长度增加1/3，然后不断重复这个过程，最后形成一个很像雪花的一个图案。实际真实的雪花的细微结构就是和科赫雪花非常接近，只是由于气温，湿度的不同，导致不同雪花会有不同的形状。如果初始三角形的周长为1，最后科赫雪花的总周长是：1x 4/3 x 4/3 x 4/3 X ..........=无穷大

一个小小的雪花的周长可以是无穷长的，更不要说一个国家的海岸线了。

如果某一天我们在新闻联播里听到，我国的海岸线长度是20万公里而不是2万公里，各位请不要诧异，这个只能说明他们用了更短的尺来测量海岸线了。

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我讲了上面这些东西，为的是要引出我真正想讨论的主题：真理是相对的。

我们可以设想有两个人，拿了不同长度的尺子去测量海岸线，一个结果是2万公里，一个结果是20万公里，二者相差十倍。他们都确认自己的测量结果没有问题，所以碰头的时候一定会坚持自己的结果是正确的，而对方的结果是荒唐的，错误的，违背实际情况的。

换句话说，他们都认为自己掌握了真理，而对方代表的是谬误。如果双方都很认真，都愿意不惜为真理抛头颅洒热血的话，悲剧就发生了。

其实用“盲人摸象的故事”可以同样说明真理的相对性。只是因为我们每个人都认为自己不是盲人，都已经看清了大象的全貌，所以都有了“明眼人的自信和傲慢”，我才不得不用海岸线问题来说明我想说的东西。

当我们认为自己掌握了真理的时候，在上帝看来，你只是拿了一把和别人不一样的尺子。

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忘了以前在哪个帖子看到的一段话，说得非常好，大致的意思是：当两个人为了某个问题争得不可开交，双方似乎都有道理，但是谁也说服不了谁的时候，我们一定是需要跳出原来的平面，站到一个新的高度来审视这个问题。

两个用不同尺度来测量海岸线的人就是遇到了这样的困境，双方都确定自己的测量是正确的，但是谁也说服不了谁，这个时候就需要引入新的维度和视角。当曼德布罗特引入分维的概念来描述海岸线时，一切关于长度的问题就都解决了。

那么在这个新的维度被发现以前，两个人又都认为自己是对的，该怎么办？如果我们不能认识到真理的相对性，双方都坚信真理在自己一边。进一步就是否定对方的人格，认为对方是怀着不可告人的目的在肆意歪曲真理，最后的结果很可能就是双方为了所谓的真理大打出手，兵戎相见。

如果我们认识到真理的相对性，意识到自己确认无误的东西有可能是错的，或者是片面的，暂时的，就像罗素说的：我永远不会为了某个信念去死，因为我有可能信错了。那么我们就有必要宽容和自己意见相左的人，宽容不是因为我们慈悲，或者我们需要表现出大度，而是因为可能自己是错的，而对方是对的，或者双方都是片面的。进一步，我们更不应该因为对方和自己的观点不一致就怀疑对方的人格，把他定为真理的敌人。

胡适说过：对事要在不疑处有疑，对人要在有疑处不疑。应该就是对这个问题的高度概括。

可惜我们很多人常常是相反的，我们常常倾向于怀疑别人的人格和意图，而不会去怀疑自己认为正确的东西。在我看来，这样的人不够自由主义。

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回复杨林兄：用绳子而不是用尺子，其实就是相当于用更小的尺子，因为绳子是软的，可以弯曲。但是如果考虑到绳子的粗细，弯曲的半径是有限的，所以相当于这把尺子还是不够小，某些细节的部分还是不能用这根绳子来量。

回复歪兄：我认为杨林兄说的：“细到无穷还会导致海岸线的无穷长”是对的，因为无穷细的绳子意味着弯曲半径可以无穷小，也就是相当于用无穷小的尺子来测量。杨林兄用了“无穷细”这个概念，我认为他很可能不是文科生，至少他可以用“无穷”这个概念来思考问题。

回复泽雄，大兴兄：从跟贴看，大兴兄对数学上的“无穷和极限”没有概念，所以没能理解海岸线长度这个问题。这个对我的打击有点大。泽雄兄给这个帖子加了精，我特别高兴，至少说明我把这个基本说清楚了。

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真实的世界是复杂的，其复杂程度远远超过了我们原先的想象力。

从欧几里得时代到笛卡尔牛顿时代，人们认为只要我们把一个细微的结构放大到足够大，就可以近似成一个平面，或者一条直线，或者一条标准的曲线，不管如何，只要用一个方程或者函数就可以描述它，然后用微积分的方法来精确计算它，即使不能精确计算，也可以比较准确地去估计它，比如我可以估算出一条复杂曲线的长度在2到2.5万之间，绝对不会出现像海岸线问题一样，有人测出来是2万，而另一个人测出来是20万，再派人去测出来是200万也完全可能。

问题在于，在真实的世界里，无论你如何放大，一个物体的复杂程度是不变的，而且在小尺度上的结构和大尺度上的结构具有相识性。我现在没有找到相关的海岸线图片，否则我可以继续用海岸线来说明。 图片总的意思是要说明，你光看图片根本无法判断它的放大比例，一张尺度在1000公里的照片和一张尺度在100米的照片看起来复杂程度是一样的。

方便起见，我再次利用科赫曲线来说明。假定我们有各种放大倍数的放大镜去看“科赫雪花”，可以发现不管用什么放大倍数，看到的细节是类似的。也就是说，细节的复杂性不会因为倍数提高而减少。我们一定看到过一些特殊的摄影作品，在显微镜下，一些本来在肉眼下很平淡的东西特别美艳而光彩夺目。而在哈勃望远镜下，庞大的宇宙星座也会呈现出摄人心魄的美丽。

显微镜和望远镜下的美丽，就部分证明了这点。

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曼德博罗特集

以下图案都是把曼德博罗特集的部分细节不断放大以后的图片

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附和一下邹峰而已，没有展开比较丰富的细节。
菜农 发表于 2010-2-8 17:45

靠! 你没有展开就哗啦啦一大滩，没点耐心都看不完，等你一展开大家就彻底晕菜了。这个和你以前的风格完全不一样了，所以我说你走火入魔了嘛。

不过我还是看了你的一大滩，谢谢你的附和。

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像俺这种境界低的，一下子就想到腰围胸围是无限的这方面去了。

仔细琢磨一下，要是海岸线是无限的话，那么有限的海水怎么能够把它填满？
kemingqian 发表于 2010-2-9 00:44

请设想有个很细的杯子，内径很小，那么一滴水就可以把它充满。

或者，一小团面粉，如果你能搓得无穷细，它就能无限长。

分形的特点就是：有限的面积里可以容纳无限的长度，有限的体积里可以包含无限的面积。

老钱境界低，喜欢讲人体，我也可以配合你一下：一个人的体积是有限的，而他的表面积是无限的，当然一个皮肤粗糙的老头会比一个皮肤光滑的年轻姑娘分维数更高，表面积更大。

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菜农28楼的论述很严密很精彩，邹峰为啥说他走火入魔？菜农的发奋认真恰恰是许多国人缺少的品质。
当然，还望不时看到菜农以前的幽默风趣。
施国英 发表于 2010-2-9 07:10

关于这个问题，我可能需要写一个帖子：从菜农走火入魔抑或发奋认真谈起。

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6.

前面泽雄兄提到了测量海岸线的尺度大概应该在几十米到一千米，太小了没有什么意义。确实是这样，我们应该根据具体的需要来选择一个合适的尺度。

我们利用无穷小和无穷大的概念只是为了一个理论上的证明，说明海岸线的测量必须要说明尺度，否则结果从零到无穷大都是可能的。有了这个概念和心理准备后，当你看到有人向你报告说他的测量结果比你的预计大了100倍时，你就不会有当场崩溃的感觉，或者冲过去把这个神经病掐死的冲动，而是会很镇定地问他：请问你用的尺度是多少？有没有必要用这么小的尺度？

新维度的引入，可以帮助我们更从容镇静，不会大惊小怪和怒发冲冠，更不会毫无必要地产生为真理杀人或甘愿被杀的冲动。

我在网上搜索有关分形和分维资料的时候，发现现在大量的有关海岸线的文章都已经用了分形和分维的概念。说明这些年确实进步很大。估计下一次新闻联播报告最新海岸线长度时，会同时报告这个结果用什么样的尺度来测得的。

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7. 好人互斗和真理之争

和一位燕友聊天的时候，我谈到我最不愿意看到的是好人之间的互斗，这位燕友说，好人会互斗，坏人也会互斗，但是坏人有一个优点是好人所不具备的，那就是，坏人之间可以为了某种利益结束互斗，并且结成暂时的联盟，因为对他们来说没有绝对的价值观。而好人一旦斗起来就会特别坚决，特别残酷，绝不妥协，因为他们不是为了利益斗，而是为了自己的信仰或者价值观在斗。

其实把人分成好人和坏人本身就是有点问题的。这里我想把人与人的斗争分为真理之争和利益之争。

对于利益之争，有一句著名的话是：没有永远的朋友，没有永远的敌人，只有永远的利益。为了利益，任何妥协让步都是可能的，就像基辛格说的：价格是永远可以谈的。

而人们为了自己的所谓信仰或者真理斗争的时候，就往往不存在妥协和让步了，因为真理是不可妥协的，妥协后的真理就不再是真理，就像失去贞操的处女就不再是处女一样。因此真理之争一定是血淋淋的，你死我活的。

回头看国共之间你死我活的斗争，对很多知识分子来说，其实都是可悲的好人互斗。

有很多人对自由主义嗤之以鼻，主要一个原因是他们认为自由主义不分敌我，自由主义者会和敌人勾勾搭搭，眉来眼去，丧失自己的立场和价值观。比如本来反对国民党独裁的胡适竟然可以去当国民党反动政府的驻美大使。

和另一个燕友聊天的时候，她说: 你也许是个糊涂的“自由主义者”，但是......。  在这位对自由主义不以为然的燕友看来，自由主义的特点果然是糊涂到了敌我不分的地步。

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妥协是一种美德。在民主政治里，妥协就是目的。
kemingqian 发表于 2010-2-20 10:04

钱兄在国外生活多年，把妥协看成一种美德是很自然的事。

可是，在我们曾经的字典里，妥协和投降，叛变，汉奸，认贼作父，助纣为虐，是非不分，敌我不分，为虎作伥等等词汇联系在一起。对很多国人来说，要把妥协和这些词分开，和美德联系在一起，还是有点难度的。

“在民主政治里，妥协就是目的”----这句有点费解。

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可是在专制社会里，谈妥协就没劲了。民主社会里你让一步对面也让一步，专制社会里你让一步对面得寸进尺。要么磕到死，要么不以“自由”为名。因为“自由”一词，首先意味着去和压制自由的东东抗争，而不是去和它妥 ...
山民 发表于 2010-2-23 13:50

感谢山民参与讨论。

首先我反对用“民主社会”和“专制社会”这样二元对立的概念，这个有点像把人分为好人和坏人一样简单化了。民主社会不是一天建设完成的，而是不断累计点滴进步而成的，而在一个还很不民主的所谓“专制社会”里，如何通过既斗争又妥协的方式来累积进步，避免由于双方对立死磕造成的僵局和双输，是一种更高的艺术。换句话说，相比在民主社会，妥协在专制社会显得更重要。

当然，有人选择死磕，有人选择妥协，好比有人唱白脸，有人唱黑脸，大家分工合作来累积进步是一种很不错的方式。关键是死磕的和妥协的不应该互相为敌，不应该互斗而消耗，否则死磕的把妥协的当叛徒来处决，妥协的出卖死磕的来换得利益，就会带来最可悲的结局，就是我前面提到的好人互斗。

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谈妥协自然要看大环境，还要讲游戏规则。
在对方不愿谈判或缺乏谈判诚意的时候，妥协的意义本来就不存在。
可是，西人那种“不自由，毋宁死”的文化和理念在自由传统匮乏的专制国家是先天土壤贫瘠。
施国英 发表于 2010-2-23 14:13

感谢施MM参与讨论。

我不觉得“不自由，毋宁死”代表了所有西人的文化传统，我认为这句话在讲究实验和改良的英美自由主义传统里并没有多少响应者，反而在自由传统匮乏，又崇尚革命的国家有不小的号召力。

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zoufeng这个问题的提出很令人费解。我想清晰的表达是：如何测量一个封闭曲线的全长，这等同于另一个问题：你如何测量一个圆的周长?
WIND 发表于 2010-2-23 21:50

问题的关键是，当你说一个圆的时候，这个圆是理想化的，光滑的，即使不是光滑的，而是有曲折的，你只要把它放大，就可以得到理想的光滑的线，它长度是有限的。

而在现实世界里，不管你怎么放大，海岸线都是曲折的，你永远无法得到光滑的一段。

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哦，zoufeng在这里谈很深奥的问题呢，我还是闪了。不过我想说一下这第一个帖子的问题，其实你用100米的尺子，都可以量出n种结果来。
WIND 发表于 2010-2-23 22:14

如果尺子长度固定下来，可能几个不同的人来测量会有n种结果，但是大致应该是一致的，最多有人懒惰一些，有人认真一些所造成的差异，但是不会产生几倍几十倍几百倍的差距。

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你说的光滑的圆，都是数学上的，现实中有你所谓的光滑的圆吗？一个加工成镜面的圆柱，放大到一定的程度还是凹凸不平的呢。
WIND 发表于 2010-2-23 22:20

对了！

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英美的妥协成功，不是因为英美的反对派擅长妥协，是因为英美的当局擅长妥协。

妥协永远是有力量一方才有权发言的话题。没有力量的一方说妥协，那是很荒唐的哦。
山民 发表于 2010-2-23 22:38

有力和无力是相对的，没有绝对的有力和无力。

如果你认为自己绝对无力，死磕更失去了意义，还不如妥协呢，还能攒点力气再去磕哦。

妥协永远是因为认识到自己力量不够才需要妥协，如果认为自己绝对有力量，可以永远无敌于天下，还需要妥协吗？

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所以，其实你谈到的海岸线长度的问题，只是一个与某种需要的准确度相称的问题。
WIND 发表于 2010-2-23 22:27

你说的就是周泽雄前面说的，需要一个尺度，而不是准确度。

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是一个问题吗？我说的是这关系到你为什么要提出海岸线长度问题。
WIND 发表于 2010-2-23 22:54

我有点糊涂了。

我提出长度问题的目的都在前面帖子里表达了呀。

“我都怀疑英美人有“妥协”这一说法。理解一种正常的文化怎么这么困难呢？”没有“妥协”的说法？？？！！！
to compromise; to concede; to come to terms; to strike a balance; to give way (to sb./sth.); to meet someone halfway，to give-and-take, to bargain, to haggle over prices

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还有你们刚说的妥协的问题，我都怀疑英美人有“妥协”这一说法。理解一种正常的文化怎么这么困难呢？
WIND 发表于 2010-2-23 22:56

在WIND兄的名帖：被有意或无意篡改的/追溯古典自由主义，我找到了下面这段，注意红色部分，嘿嘿。
19,Edward Coke（维基）

Sir Edward Coke (pronounced "Cook") (1 February 1552 – 3 September 1634), was a seventeenth-century English jurist and Member of Parliament whose writings on the common law were the definitive legal texts for nearly 150 years. Born into a family of minor Norfolk gentry, Coke traveled to London as a young man to make his living as a barrister. There he rapidly gained prominence as one of the leading attorneys of his time, eventually being appointed Solicitor General and then Attorney General by Queen Elizabeth. As Attorney General, Coke famously prosecuted Sir Walter Raleigh and the Gunpowder Plot conspirators for treason. In 1606, Coke was made Chief Justice of the Court of Common Pleas, later being elevated, in 1613, to Lord Chief Justice of England. As a judge, Coke delivered numerous important decisions, and he gained a reputation as the greatest jurist of his age. Nonetheless, his unwillingness to compromise in the face of challenges to the supremacy of the common law made him increasingly unpopular with James I, and he was eventually removed as Lord Chief Justice in 1616.
Sir爱德华•柯克（2.1，1552—9.3，1634），17世纪英国法学家，国会成员，他的有关普通法的著作成为决定性的法律文本将近150年。柯克出生于一个诺福克（英格兰东部一郡）的小贵族家庭，年轻的时候游历到伦敦，以做律师谋生。在那里，他很快赢得不凡的表现，成为他那个时代领军的律师之一，最后被伊丽莎白女王指定为副司法部长（Solicitor General），接着成为司法部长（Attorney General）。在司法部长任职期间，柯克最为人所知的是起诉Sir沃尔特•若利（1603年）和火药密谋案（1605年）的共谋者为叛国罪。在1606年，柯克成为普通上诉法庭的首席法官，后来又得到提升，于1613年达到英格兰首席法官的职位（当时这个职位在司法系统中仅居于大不列颠大法官（Lord High Chancellor of Great Britain）之后）。柯克陈述过许多重要的法庭判决，并且赢得了声望，成为了他那个时代最伟大的法官。虽然如此，在反对普通法最高权力的不情愿的妥协中，使他逐渐的受到了詹姆斯一世国王的不欢迎，最终在1616年以首席法官的职位被去职。
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顺便说一下，unwillingness to compromise 应该是对妥协的不愿意，也就是不肯妥协，说明最后也没妥协。 翻译成 "不情愿的妥协" 变成了最后还是妥协了，只是有点不情不愿，老大不高兴的样子。意思反了。

zoufeng_1234

zoufeng兄看得仔细，我重新审视了一下，确实是说柯克不愿意去妥协。
首先我解释一下，柯克所主持的审判，有许多案例经常被其它审判引用，他写的著作，其后成为英美通用的律师教材两百年。在没有读过他的著作的情况 ...
WIND 发表于 2010-2-24 10:31

只回复你第一点。

具体内容我没有看，只针对unwillingness to compromise 这个字面翻译，两种翻译态度都是不愿意的，关键是结果到底有没有妥协。

好比说："她不愿意上床，他很生气"，和“她上床时很不情愿的样子，让他很生气”，显然是不一样的。

要是你把前者翻成了后者，她会很生气。

zoufeng_1234

哈哈。你认为柯克有可能是这种情况：他很不情愿，但最终还是妥协了，可是詹姆斯国王龙颜动怒，怀恨在心，还是把他开掉了？
如果是这种情况，我觉得英文应该说：unwillingly compromise
WIND 发表于 2010-2-24 12:44

你又说反了，是你这么认为：他很不情愿，但最终还是妥协了，所以你翻成了“不情愿的妥协”。而我根据字面看，应该是“不愿意妥协”，所以被开掉了。

老外重视结果，中国人喜欢讲究态度，我认为你还是用中式思维来理解英国人了。

to compromise,在英文里，动词不定式往往表示未完成的动作。已经完成的动作用动名词来表示，unwillingness in compromising.

简单点说，你认为上床了，我认为没上床。

zoufeng_1234

呵呵。我78楼说的妥协的问题与之前说主贴的问题是两个问题。
为什么提出海岸线长计算的问题，我不太明白。我问：为什么要提出这个问题？我看了一下你对这个问题的答案，好像是说有两个人在争论，一个说有这么长， ...
WIND 发表于 2010-2-24 10:11

解决一个问题，再来解决你前面的问题。

不是说两个人吃饱了撑的在争论海岸线有多长，故事的主角是提出分形理论的Mandelbrot, 他有一次想查一下英国的海岸线有多长，结果发现各种资料上的数据会大相径庭，他觉得很奇怪，才开始深入研究。他发现在真实世界里，长度依赖于测量单位，和原来的传统几何概念完全冲突了，最终写了那篇著名的论文《英国的海岸线有多长》。

我用这个相对来说比较通俗的科学小故事来作为引子，表达我想表达的东西。因为菜农以前也想表达类似的东西，但是由于走火入魔，搞了一大堆哲学概念和名词，又是康德又是谁谁谁，又是符号学又是什么范式，让人看起来比较头疼，大家不容易接受。

zoufeng_1234

我觉得提出海岸线有多长的问题（下一步就是用什么方法测量的问题了吧？）还是应该放在一个前提之下，这就是你为什么要测海岸线长。2000年的时候美国总统大选，最后对选票的统计有分歧，曾经重新计票，可是后来还是 ...
WIND 发表于 2010-2-24 18:27

唉，先叹一口气再说。

测量海岸线当然有必要啊，就像统计人口，土地一样。海岸线长意味着有更多的海滩，可以建更多码头，避风港，海边别墅，在滩涂上养更多海鲜，等等。

统计选票和测量身高一样，是有一个最大值的。比如你统计出来的选票数比全体人口还多，那就肯定不对了；你测量出来身高比姚明高一大截，那也有问题了，不管你声称用了什么高精度的尺子，先进的统计方式。而海岸线没有最大值，只要你不断把尺子缩短，就可以得到更大的数据。你的，明白了？

zoufeng_1234

赤道是一个虚拟的“道”，是理想化的一根几何线，而不是真的地球上有一条绕地球一圈，并且弯弯曲曲有无数细节的小道。所以赤道的长度是有限的，相对确定的。

分界线也是一样，是虚拟的，比如按经纬度来划分分界线，经纬线就是典型的虚拟线。

zoufeng_1234

天哪，我有点应接不暇了！

山民菜农请稍等，等我搞定了风兄再来收拾你们。