[连载] 小学生数学问题系列

ys1937

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  余老矣，往年所学，尽还老师。唯小学时数学老师所提一些问题，至今犹在心中。鸡兔同笼、大和尚小和尚吃馒头…………
  闲来无事，且写出，愿有心者转给孩子们。
  是童趣耳！

  问题 1、某商店回收‘雪碧’空瓶，每四只空瓶可换一瓶雪碧。
  某班 N 个学生出外旅游，老师买了24瓶雪碧，结果，连带空瓶换实瓶，连老师在内，每人正好喝到一瓶。
  问该班有多少学生？

  多想想再回答。

ys1937

  31 个学生。
晓夢 发表于 2016-7-4 09:37

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  晓梦的答案对了一半，是‘标谁答案’，但不是‘唯一答案’。
  其实，这是一个‘脑筋急转弯’的问题。
  ‘坏’学生（请晓梦愿谅，俺不是骂你）的答案是31个——连老师32个。
  思路是，24个空瓶，可以换 6个实瓶，喝完这 6 瓶，再去换实瓶，就有了二种思路了：
  （1） ‘坏学生’的办法是：问路人乙先借二个空瓶，拿八个空瓶去换二个实瓶，喝完再还空瓶给路人乙；这样：
  24 + 6  + 2 = 32，
  32 — 1 = 31；
  （2） ‘好学生’就不会这样想法了，6 个空瓶只能换一个实瓶，还多出来二个空瓶。
  你说去借二个空瓶，可是，旁边没人喝雪碧咋办？就是有空瓶，这种丢脸的事俺不干。
  于是，另一个答案是30个学生（二个空瓶就送给店家吧）。

  嘿嘿，这就是为什么企业家里‘坏学生’多，‘好学生’少的理由吧。
  晓梦以为如何？

  以后，每天一题。
  欢迎各位出题，条件是，要让小学生能做。

ys1937

好像不用借两个空瓶。喝完六瓶后用四空瓶再换一瓶，再喝完就有三个空瓶了，需要借一个。去哪借？就去换实瓶的商店，正好刚在那儿换过好几瓶，已经混熟了，或者摘下帽子做抵押。要是连个空瓶都借不到，这种情商的好学 ...
晓夢 发表于 2016-7-4 11:46

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  好，又是一种解法。

  如果俺是店员，一定不让晓梦占这点便宜。

ys1937

三个瓶子先换一可乐，欠一可乐瓶，喝完把这瓶子还给他。正好4个，不欠~~~
水笺 发表于 2016-7-4 20:35

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  晓梦、水笺善于利用‘规则’中的漏洞，把“四个空瓶可换一个实瓶”的规则变成了“三个空瓶可换一个实瓶”，佩服佩服。
  王石老兄莫非曾经向二位求教了？
  （7/11）〈 （2/3）〈 （7/10）
  上面这组不等式是二位教给王石滴？

ys1937

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  下面讨论“鸡兔同笼”问题。
  1、 先出题：俺知道，五只兔子20条腿，七只鸡14条腿，于是，题目就来了：
  题（2-1）：鸡和兔子关在一个笼子里，只知道笼子里面有12个‘头’，34条‘腿’，问：笼子里有几只鸡，几只兔子？  
  2、 这个问题，只要有初中数学知识，用解联立方程组的办法，很容易：
  假设有‘鸡’只鸡，‘兔’只兔，由题意：
  ‘鸡’+ ‘兔’ = 12  ……（1）
   2‘鸡’ + 4‘兔’ = 34  ……（2）
  解之得…………
  3、 这样，俺只能自定一条规则（各位切莫再来个潜规则了，拜托了）：只能用小学生所能懂的四则运算和逻辑分析来解题。
  4、 要求，像晓梦在二楼那样就一个答案的，不算数，你得写出你的分析、运算过程。

  题2-2、庙里食堂师傅做了一百零六只大肉馒头（莫钻漏洞），庙里有一百个光头，方丈吩咐：大和尚一人三只，小和尚三人一只（不许打架），食堂师傅分发下去，剩下六只，孝敬方丈去也。
  提示：方太他老人家不参加分配，也不算大和尚。
  问：这食荤茹素的庙里有几个大和尚，又有几个小和尚。
  同样要求：你得写出求解过程来，也只能用小学的知识求解。

ys1937

让鸡和兔子都变成双头怪，那么腿还是34条，头就变成24个，多出的10条腿，是长在兔子身上，每个兔子多长两条，那么兔子就是5只，鸡就是7只。
showcraft 发表于 2016-7-5 07:45

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  秀艺好算计。

  这是‘加头’法，俺向你学习，来个‘减腿’法。
  假设某馋嘴想吃鸡肉兔子肉，又不敢杀鸡杀兔，又是，“半夜鸡叫”的时候，钻到笼子里，每只鸡砍一条腿，每只兔子砍二条腿，拿去烤来吃了。
  于是，笼子里的腿剩下17条了。
  12只鸡加兔子，17条腿，多出的五条腿是双腿兔滴。
  这样，兔子是五只，鸡当然是七只了。
  秀艺搞出了双头怪物，俺这是残疾动物，都不受动物爱好者欢迎滴。

  还有更好的分析吗？

ys1937

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  看看，这二种方法的实质是啥子：

  X + Y = 12       ……（1）
  4X + 2Y = 34   ……（2）
  
  秀艺：（1）式乘 2，得：

  2X + 2Y = 24

  俺的：（2）式除 2，得
  2X + Y = 17

  下面就省略了。

ys1937

第2.2题少了一个条件吧? 是不是应该给出大小和尚总数?

否则有很多解。比如3个小和尚(一个馒头)和33个大和尚(99个馒头), 或291个小和尚(97个馒头)和一个大和尚(3个馒头)， 都满足题意。
晓夢 发表于 2016-7-5 08:57

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  问得好。正常的题目里是有“一百个光头”滴，已更正了，谢了。
  晓梦得到的是两个“非正常”寺庙了。一个只有三个小和尚，谁做扫地僧？一个只有三个大和尚，成了幼儿园了，谁来念经？
  不过，都是解。
  似乎还少了一个正常寺庙的解。

  更重要的，过程呢？

ys1937

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  晓梦的方法很通俗，容易说清楚，不过，你的说法里似乎没有解决“唯一性”的问题。
  其实，用秀艺的加喊法也可以解决这个问题。
  小和尚三个人只能吃一个馒头，不好分，不断出现打架事件，方丈大师头痛之极，为了寺庙的安定团结，方丈决定大赦天下，让小和尚也能每人吃一个馒头。可是这样一来，大和尚又不答应了，他们的特供相对少了。方丈又只能采取安抚之策，来收买大和尚人心。于是，方丈最后决定，让伙房做318只大肉馒头，小和尚每人一只，大和尚每人九只，方丈也得到了十八只。
  伙房师傅是笨人，他决定，先给一百个光头每人分一只，让小和尚先离开，然后，…………
  这样，这些老秃驴每人又分到了八只大肉馒头，共计是二百只。
  你说，有多少大和尚呢？
  这样，是不是伙房师傅比买菜的主妇笨啊？

ys1937

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  再来一个故事。
  小和尚不断打架，方丈为了安定人心，出了布告，天下众生，一律平等。大和尚也是三人一馒。
  于是，伙房里分掉了33又三分之一只馒头，除了方丈的六只外，还余下66又三分之二只馒头。
  到第二天，方丈宣布，让小和尚集体到迪斯尼玩它一天，不得缺席。
  小和尚皆大欢喜，却不知大和尚也暗里高兴，等小和尚一走，他们每人二又三分之二只馒头又到嘴了。
  {66（2/3）} / {2（2/3）} = 200/8 = ？

ys1937

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  是的，答案是唯一的。
  但是，晓梦你的分组方法（一大三小）为什么一定能把所有和尚都分在内呢？这里只是一种可能，为什么没有其它可能呢？

  这个系列有点意思了，请晓梦也拿点题目出来讨论，最终会很有点味道的。
  这个味道好极了。

ys1937

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  是的，对小学生可能要求太高了。
  X +Y = 100
  3X + （1/3）Y = 100

  1、 3X + 3Y = 300
  2、 X + （1/9）Y = 100/3

ys1937

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  上面，给‘鸡兔同笼’、‘和尚吃馒头’问题做了比较详细的讨论，解决这一问题的一个比较好的办法是增减法，到初中学了方程组，就知道，实际上就是加减消元法。
  下面来讨论第三个问题：
  问题 3、要把一百桶汽油运到五十公里远的地方，条件是：
  （1） 只能用二辆货车运输；
  （2） 该二辆货车每辆一次最多只能运出50桶汽油；
  （3） 该货车每公里要耗去汽油一桶，而货车本身没有带一点点自有的汽油；
  （4） 货车作为一次性物品，最后可以随便丢弃在任何地方；
  请问，该怎样进行运输，才能把一部份汽油运到目的地？能运到目的地的汽油的最大数量是多少？

ys1937

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  晓梦的答案是对的。
  上述分析里有一个问题没有解决：为什么这‘25桶’“应该就是能运到目的地的最大数目”？
  可惜，要解决这一问题，恐怕不是小学生能做到的。
  不过，能不能给一些直观的讨论，能让小学生理解这25桶是“最大”呢？
  晓梦努力。
  其实，问题二的和尚吃馒头里，晓梦一开始给出了答案，也没有解决“唯一性”问题，其实，也可以给一些虽然不“严格”但是“直观”的说明的。

ys1937

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  以和尚吃馒头为例，可以列出二张表来。
  1、 馒头为主
  小和尚  大和尚  合计
    3          33      36
     12          32      44
     21          31      52
     30          30      60  （每减少一个大和尚，总数就要增加八个，理由如下：…………）
  如此，和尚总数依次为：
  36、44、52、60、68、76、84、92、100、108…………
  显然，其中只有一个符合要求。

  2、 和尚为主：
  显然，大和尚不能超过33个。
  大和尚    小和尚    合计
    33           3        36
    32         12        44
    …………
  以下讨论同前。

ys1937

晕倒了，题目好难，是数学题，还要脑筋急转弯
水笺 发表于 2016-7-6 10:02

**给你儿子、女儿，或者孙子、孙女、外孙、外孙女去做，让他们损失一点脑细胞。

ys1937

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  晓梦说的对，解决和尚吃馒头答案唯一性问题的‘列举法’“很像用计算机求解过程”，但是，我想补充一点，是“‘用计算机求解过程’很像‘列举法’”，而不是倒过来说。
  因为，‘列举法’的历史比‘用计算机求解过程’长得多。
  这一说法的差异，大概就是熟悉计算机的晓梦和我这个老古董的差异了。

  下面来解决问题 3的‘唯一性’问题。

ys1937

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  首先想到的也是列举法，列表如下：

中间站距目的地路程  已消耗汽油数  抛弃一车后到过目的地剩余汽油数
      （公里）          （桶）                （桶）
49                    2             1
48                    4             2
……………………
26                   48            24
（例如，中间站在距目的地路程30公里处，这时，两车各消耗汽油40桶，两车共剩余汽油60桶。如果把汽油并到一辆车上，放不了，其中一辆车最多放50桶，另一车的10桶是开不到终点的。而装满50桶的车到终点，只能余下20桶。
  这里，你是否看出了一个‘规律’：表中每行三个数，而前后两数之和恰好是50。）
25                   50            25
24                   52            24
23                   54            23
…………
1                   98             1
（例如，中间站在距目的地路程20公里处，这时，两车各消耗汽油30桶，两车共剩余汽油40桶。把这40桶装到一辆车上，抛弃空车。有汽油的车还要开20公里，消耗汽油20桶，最终剩余20桶汽油。
  这里，你是否看出了一个‘规律’：表中每行三个数，而前后两数是相同的。）
  这种列表法看上去似乎解决了唯一性问题，不过，只能说是“部份地”解决了，因为：为什么中间站一定距离目的地‘整数公里’处呢？例如，为什么不能设在距目的地 24.01公里处呢？

ys1937

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  于是，得进一步，利用列举法，用分析——图解的方法来完满地解决问题 3。

  起点——————中间站————————————终点
         X 公里
              
  （1） X 是从 0到25间的任何数（不含25）时，两车到达中间站时，共消耗汽油2X桶，剩余汽油（100 —2X）桶，且此数大于50。
  这时，一辆车装满50桶，另一车只有（50—2X）桶，而剩余路程是（50— X）公里，此车只能在中途抛锚。
  装满50桶的车，到达终点时，剩余汽油为  50—（50— X）= X 桶。
  （2） X 是从25到50间的任何数（含25）时，两车到达中间站时，共消耗汽油2X桶，剩余汽油（100 —2X）桶，且此数不大于50。
  这时，另一辆车已经是空车了，只能抛弃了。
  装满50桶的车，到达终点时，剩余汽油为（100—2X）—（50— X）= （50— X） 桶。
  由于X 是从25到50间的任何数（含25）时，所以（50— X）不能大于25，且最大数是25。
  （3） 一点说明，由于只有两辆车，中途要抛弃一辆车，所以，中间站如果设有三个或者更多，其效果和二个中间站是完全一样的。

ys1937

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  问题 4、一条小虫从幼虫长到成虫每天大一倍，30天长到20厘米，问长到 5厘米长时用了几天？

  禁口令：今日晓梦禁口。（抱歉：说对口相声，也得给听众一些思考的时间，你就忍一天吧。）

ys1937

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  秀艺也来凑热闹了，欢迎。
  好了，可以这个题目来引申一下了。
  在相同的条件下，一个国家的人口从一千万增长到二千万（用老人家的话叫翻一翻）假设要五十年。那么，从六亿增长到十二亿要用多少年。
  一种算法是：五十年增加一千万，五百年增加一亿，增加六亿要三千年，这是脑残人士的计算方法。
  另一种算法是：也是翻一翻，所以也只要五十年，这大概可以算是秀艺的算法了。
  当然对的是后一种算法。
  所以，什么叫“人口爆炸”，看到了吧。
  其实，人口从一千万增加到二千万，从当时当地的人来讲，也是人口爆炸。只是。底数太小了，现代人看不上眼而已。

ys1937

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  题目里说的是“30天长到20厘米”，我们假设，“开始时间”是一日零点，开始长度是 X厘米，那么：
  2 日零点算一天，长度是2X厘米；
  3 日零点算二天，长度是4X厘米（2^2厘米）；
  4 日零点算三天，长度是8X厘米（2^3厘米）；
  …………
  31日零点算30天，长度是2^30 X厘米，即20厘米；

  把最后一句倒写上去：
  31日零点算30天，长度是2^30 X厘米，即20厘米；
  30日零点算29天，长度是2^29 X厘米，即10厘米；
  29日零点算28天，长度是2^28 X厘米，即 5厘米；

  结论：秀艺对，水笺错了。


  问题 5、盒子里有红球和黄球各 6个，最多需要摸出几个球，才能保证摸出的球中一定有两种颜色不相同的球？

ys1937

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  不错，这坛子里跑出了不少小学生来了。

ys1937

摸7次，哈哈~
水笺 发表于 2016-7-8 08:30

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  正确，加十分。

  问题 6-1、一辆汽车从北京到天津跑了一个来回，从北京到天津时，时速一百公里；从天津回北京时，时速六十公里。
  问题，这一个来回中，汽车的平均时速是多少？

  问题 6-2、二辆汽车从北京到天津跑了一个来回，其中一辆时速为一百公里，另一辆时速为六十公里，二辆四的平均时速是多少？

ys1937

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  代某君答问题 6-1：傻瓜的问题，不就是把 100和60加起来除以 2就得了。
  答案是时速时每小时80公里。
  这种简单的问题还要拿出来，真不当人是人了？
  提问人扣十分！

ys1937

你咋老想着把人往沟里带呢  ddnessd" />
晓夢 发表于 2016-7-9 07:59

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  掉沟里不要紧的，只要不是掉江里就行。
    那条沟已经用130元钱整修过了，掉下去就像掉在海绵垫子上一样滴。

  再来挖条沟吧。
  问题 7：中国股市像某大坝的水位一样，某月，涨了百分之百，下个月，又跌了百分之七十，再下月，国家救市，又涨了百分之四十。
  晓梦原来有一百万入市，几个月里，他不敢动一动，那么：
  100 — 70 + 40 = 70  （心算就成，大笨蛋才会写出来出丑。）
  晓梦是不是赚了七十万啊？
  赚了，明天得请客啊！

  这题算明天的，明天不出题了。

ys1937

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  好啊，我请客，你付钱。
  这沟改道了，又到你那边去了。

ys1937

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  非也非也，大大的不同。
  你自已掉沟里是活该，俺搞的是阳谋；
  俺把你推下去是作案犯罪，是阴谋。

  提示：问题六改动了，一题变二题了。

ys1937

看不出那二题有什么不同。
晓夢 发表于 2016-7-9 11:01

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  刚挖好沟（挖掘机，大卡车都用上了），引进了水，想让那谁谁谁掉下去浸上一身水和泥；晓梦后脚就用钢板、水泥板把沟盖上了。
  谁都知道，100 和60的平均数是80啊，天哪，只有傻瓜才不懂啊。
  真不厚道啊，这小子。

ys1937

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  今天先解决问题 7。
  问题 7：中国股市像某大坝的水位一样，某月，涨了百分之百，下个月，又跌了百分之七十，再下月，国家救市，又涨了百分之四十。
  晓梦原来有一百万入市，几个月里，他不敢动一动，那么：
  100 — 70 + 40 = 70  （心算就成，大笨蛋才会写出来出丑。）
  晓梦是不是赚了七十万啊？
  赚了，明天得请客啊！
  解：晓梦原来有一百万入市。
  某月，涨了百分之百，一百万变成二百万了；
  下个月，又跌了百分之七十，余下的是二百万的百分之三十，成六十万了；
  再下月，国家救市，又涨了百分之四十，六十万的百分之四十是二十四万，晓梦只有八十四万了，总算下来，亏了十六万。还好，有资格再来一次。
  记住，许多大款就是酱紫变成负翁滴。
  不过，看来只能是我请客了，不过晓梦得带钱啊——你付款的。